我遇到的问题类似于 Given a million integers, return the kth smallest element。问题下面有一个给定的解决方案，我不确定为什么这是一个最佳解决方案。给定的解决方案涉及使用最小堆。所以最初，我认为这是有道理的，因为我们可以在恒定的时间内找到堆中的最小元素。但是在我想了一会儿之后，我想到了将数组中的元素插入堆中的成本。如果我的理解是正确的，插入是O(logN)操作。但是，如果我们要插入N元素，那么这应该花费我们O(NlogN)时间。我们还使用了我们正在使用的堆的额外空间。所以我的问题是，为什么这是一个比排序数组更好的解决方案，并采用kth-1索引？
答案 0 :(得分：3)
在min heap中，在最坏的情况下单个插入是O(logN) ，因为只有在堆属性（父值应小于子节点）时才会产生成本被侵犯了。
有一个定理说，如果要将数组转换为堆（称为构建堆），则总体复杂度为O(N)，而不是{{1 }}。您可以在Wikipedia for binary heap中阅读详细信息。
所以这种方法确实比简单地整理整个数组更好。由于对整个数组进行排序的时间复杂度为O(NlogN)，因此使用最小堆方法时，总复杂度为O(NlogN)，这在O(N+klogN)较小时更为理想。
为了完整起见，我将描述为什么使用min-heap获取k个最小元素的复杂性为k。如果你想要最小的元素，你可以在恒定的时间内取根。但是第二个最小元素呢？然后，您需要删除最小的元素，然后恢复堆属性。然后根将是数组中删除了最小元素的最小元素，因此它是第二个最小元素。我们可以继续O(N+klogN)次这样做以获得k个最小的元素。由于恢复堆属性的操作为k，因此构建堆的总复杂度为O(logN)，然后继续删除最小元素O(N+klogN)次。
答案 1 :(得分：1)
解决此问题的更好方法是使用max-heap of size K。
我们可以遍历并比较数组的每个元素和最大堆的根，如果数组元素小于根，我们可以用元素替换root并堆化堆。此操作将花费log(K)时间。我们将对数组的所有N元素执行此操作。
堆的根将为您提供Kth最小元素。
这样，时间复杂度就会变为O(NlogK)。
答案 2 :(得分：1)
问题必须讨论整数的范围。
比如说范围是[0,10000]意味着有重复。现在，如果我们使用排序，那么我们将需要排序一百万个整数！这将是O(nlogn)
在堆的情况下，由于重复由计数器（或链表）处理，我们在堆中只有一个10000元素！一般来说，对于n范围内的[0,m]个整数，堆将O(mlogm)时间m < n。因此堆将是有效的。还有一件事，BUILD_HEAP算法不会使O(mlogm)构建堆。这需要O(m)时间。
当您将kth元素插入堆时，HEAPFY将O(logk)带到k < m。
详细了解here
是的，存在O(n)算法来查找数组中的第k个最小元素。它被称为selection algorithm。 CLRS非常优雅地讨论它。阅读here和here
因此，取决于您是否根据m和n
答案 3 :(得分：1)
首先让我们看看我们有什么选择。
第一个选项是sort和return第k个元素。 如果您可以对输入数组进行排序，则时间复杂度为O（n log n），空间复杂度为O（1）。
第二个选项是维护一个大小为k的堆。它在justhalf's answer中进行了解释。 时间复杂度为O（n log k），空间复杂度为堆的O（k）。
实际上，您可以在O（n）时间内堆积数组，然后弹出k个元素以找到第k个元素。 时间复杂度再次为O（n + k log n），空间复杂度为O（1）。
正如rcgldr的评论所指出的，有一种选择算法，其中O（n）时间和O（1）空间。
快速选择是查找第k个最小元素的常用方法。另一种选择是介绍选择。 - rcgldr
所以这取决于具体情况。例如，当使用sort比较使用堆和解决方案的解决方案时，您需要考虑k将是什么。有时k非常小，使用堆可能会有所帮助。
有时输入是一个流，你需要实时报告第k个元素，使用O（n log n）时间对数组进行排序，或者在O（n）时间内使用选择算法可能太慢。如果你使用堆，你可以在O（1）时间内得到答案。
您还需要考虑空间复杂性。 有时您可能不允许更改输入，因此如果使用排序或选择算法，则需要复制数组。它意味着O（n）空间与堆解的O（k）空间相比。
所以这完全取决于。你能改变输入数组吗？你可以花多少钱？这是一个实时查询以及查询的频率吗？输入是增长还是静止？在不同情况下，更好的解决方案会有所不同。