为什么计算机科学中的对数被认为是基数为2的对数？

Question

我在计算机科学教科书中看到了以下内容，

......所以，我想知道是否有人可以向我解释原因。

Answer 1

计算机科学中最常见的对数方法之一是将一些数组重复分成两半，这通常发生在二元搜索，mergesort等分而治之的算法中。在这些情况下，次数在进入单元素数组之前，可以将长度为n的数组除以log ₂ n。

另一种非常常见的对数方式是通过查看数字的位。以二进制形式写出数字大致使用log ₂ n位作为数字n。像基数排序这样的算法有时会一次一点地工作，这通常会产生这样的日志。其他算法（如二进制GCD算法）的工作方法是将2的幂除以最终得到的对数因子浮动。

物理，数学和其他科学的对数经常出现，因为你正在处理随时间增长的连续过程。自然对数出现在这些情境中，因为某些过程随时间的“自然”增长率由e ^x 建模（对于“自然”增长率的某些定义）。但是在计算机科学中，指数增长通常是由于离散过程的结果，如上面描述的分而治之算法或操纵二进制值。因此，我们通常使用log ₂ n作为对数函数，因为它只是频繁出现。

这并不是说我们总是在CS中使用基数为2的对数。例如，AVL树的分析通常涉及对数，其基数是由于Fibonacci数的存在而的黄金比率φ。许多随机算法确实以某种方式涉及e，例如快速排序的标准分析，其涉及谐波数并因此连接回自然对数。这些是增长率由其他东西建模的过程的例子 - 斐波纳契数或指数函数 - 因此我们在那里选择不同的日志基数。这只是因为使用二进制数或将事物分成两半而非常常见 - 两个对数最终成为默认值。

在许多情况下，您选择的基数甚至不重要。例如，在big-O表示法中，所有对数都是渐近等价的（它们只相乘乘法常数因子），因此我们通常甚至在写O（n log n）或O（log n）时都不指定基数。 ）。