Question

我正在使用nat s（特别是三元组，nat*nat*nat）的元组，并且想要一种按字母顺序比较元组的方法。等同于此的东西：

Inductive lt3 : nat*nat*nat -> nat*nat*nat -> Prop :=
| lt3_1 : forall n1 n2 n3 m1 m2 m3, n1 < m1 -> lt3 (n1,n2,n3) (m1,m2,m3)
| lt3_2 : forall n1 n2 n3    m2 m3, n2 < m2 -> lt3 (n1,n2,n3) (n1,m2,m3)
| lt3_3 : forall n1 n2 n3       m3, n3 < m3 -> lt3 (n1,n2,n3) (n1,n2,m3).

我希望得到基本属性的证明，例如传递性和有根据性。标准库中有哪些东西可以完成大部分工作吗？如果没有，我最感兴趣的是有充分根据。我该如何证明呢？

Answer 1

标准库有自己的definition词典产品，以及proof的充分基础。然而，该定义的问题在于它是依赖对的说明：

lexprod : forall (A : Type) (B : A -> Type), relation {x : A & B x}

如果需要，可以使用B形式的常量类型系列来实例化fun _ => B'，因为类型A * B'和{x : A & B'}是同构的。但是，如果您想直接使用Coq类型的常规对，您可以简单地复制证明，以获得更加受限制的词典产品版本。证明并不是很复杂，但它需要对可访问性谓词进行嵌套归纳，以定义基础。

Require Import
  Coq.Relations.Relation_Definitions
  Coq.Relations.Relation_Operators.

Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Unset Printing Implicit Defensive.

Section Lexicographic.

Variables (A B : Type) (leA : relation A) (leB : relation B).

Inductive lexprod : A * B -> A * B -> Prop :=
| left_lex  : forall x x' y y', leA x x' -> lexprod (x, y) (x', y')
| right_lex : forall x y y',    leB y y' -> lexprod (x, y) (x, y').

Theorem wf_trans :
  transitive _ leA ->
  transitive _ leB ->
  transitive _ lexprod.
Proof.
intros tA tB [x1 y1] [x2 y2] [x3 y3] H.
inversion H; subst; clear H.
- intros H.
  inversion H; subst; clear H; apply left_lex; now eauto.
- intros H.
  inversion H; subst; clear H.
  + now apply left_lex.
  + now apply right_lex; eauto.
Qed.

Theorem wf_lexprod :
  well_founded leA ->
  well_founded leB ->
  well_founded lexprod.
Proof.
intros wfA wfB [x].
induction (wfA x) as [x _ IHx]; clear wfA.
intros y.
induction (wfB y) as [y _ IHy]; clear wfB.
constructor.
intros [x' y'] H.
now inversion H; subst; clear H; eauto.
Qed.

End Lexicographic.

然后，您可以实例化此通用版本以恢复您对自然数三元组的词典产品的定义：

Require Import Coq.Arith.Wf_nat.

Definition myrel : relation (nat * nat * nat) :=
  lexprod (lexprod lt lt) lt.

Lemma wf_myrel : well_founded myrel.
Proof. repeat apply wf_lexprod; apply lt_wf. Qed.

nats元组的词典比较

1 个答案: