Question

有时，当您使用常见数据类型（如双精度数）进行非常小概率的计算时，数值不准确会在多次计算中级联并导致不正确的结果。因此，建议使用log probabilities，以提高数值稳定性。我已经在Java中实现了日志概率并且我的实现工作正常，但它比使用原始双精度具有更差数值稳定性。我的实施有什么问题？在Java中用小概率执行许多连续计算的准确有效方法是什么？

我无法提供这个问题的完整示例，因为许多计算都会出现不准确的错误。但是，这里证明存在问题：由于数字准确性，this提交给CodeForces竞赛失败了。运行测试＃7并添加调试打印清楚地表明，从1774年开始，数值错误开始级联，直到概率总和降至0（当它应该为1时）。用双打the exact same solution passes tests上的简单包装替换我的Prob类。

我实现乘法概率：

a * b = Math.log(a) + Math.log(b)

我的补充实施：

a + b = Math.log(a) + Math.log(1 + Math.exp(Math.log(b) - Math.log(a)))

稳定性问题很可能包含在这2行中，但这是我的整个实现：

class Prob {

        /** Math explained: https://en.wikipedia.org/wiki/Log_probability
         *  Quick start:
         *      - Instantiate probabilities, eg. Prob a = new Prob(0.75)
         *      - add(), multiply() return new objects, can perform on nulls & NaNs.
         *      - get() returns probability as a readable double */

        /** Logarithmized probability. Note: 0% represented by logP NaN. */
        private double logP;

        /** Construct instance with real probability. */
        public Prob(double real) {
            if (real > 0) this.logP = Math.log(real);
            else this.logP = Double.NaN;
        }

        /** Construct instance with already logarithmized value. */
        static boolean dontLogAgain = true;
        public Prob(double logP, boolean anyBooleanHereToChooseThisConstructor) {
            this.logP = logP;
        }

        /** Returns real probability as a double. */
        public double get() {
            return Math.exp(logP);
        }

        @Override
        public String toString() {
            return ""+get();
        }

        /***************** STATIC METHODS BELOW ********************/

        /** Note: returns NaN only when a && b are both NaN/null. */
        public static Prob add(Prob a, Prob b) {
            if (nullOrNaN(a) && nullOrNaN(b)) return new Prob(Double.NaN, dontLogAgain);
            if (nullOrNaN(a)) return copy(b);
            if (nullOrNaN(b)) return copy(a);

            double x = a.logP;
            double y = b.logP;
            double sum = x + Math.log(1 + Math.exp(y - x));
            return new Prob(sum, dontLogAgain);
        }

        /** Note: multiplying by null or NaN produces NaN (repping 0% real prob). */
        public static Prob multiply(Prob a, Prob b) {
            if (nullOrNaN(a) || nullOrNaN(b)) return new Prob(Double.NaN, dontLogAgain);
            return new Prob(a.logP + b.logP, dontLogAgain);
        }

        /** Returns true if p is null or NaN. */
        private static boolean nullOrNaN(Prob p) {
            return (p == null || Double.isNaN(p.logP));
        }

        /** Returns a new instance with the same value as original. */
        private static Prob copy(Prob original) {
            return new Prob(original.logP, dontLogAgain);
        }
    }

Answer 1

问题是由于此行中Math.exp(z)的使用方式造成的：

a + b = Math.log(a) + Math.log(1 + Math.exp(Math.log(b) - Math.log(a)))

当z达到极值时，对于Math.exp(z)的输出，double的数值精度是不够的。这会导致我们丢失信息，产生不准确的结果，然后这些结果会在多次计算中级联。

z >= 710然后Math.exp(z) = Infinity

z <= -746然后Math.exp(z) = 0

在原始代码中，我使用y - x调用Math.exp并随意选择哪个是x，这就是原因。我们改为选择y和x，因为z是负数而不是正数。我们得到溢出的点是在负面（746而不是710），更重要的是，当我们溢出时，我们最终会在0而不是无穷大。这是我们想要的概率很低。

double x = Math.max(a.logP, b.logP);
double y = Math.min(a.logP, b.logP);
double sum = x + Math.log(1 + Math.exp(y - x));

具有对数概率Java实现的数值精度

1 个答案: