数字集成

来自现代物理计算由William R. Gibbs撰写：

总是可以在数字上集成[函数]并反转[ cdf ] 但这通常不是很令人满意，特别是如果 pdf 正在改变迅速。

您实际上构建了一个表，将范围[0-1)转换为目标分布中的适当范围。扔掉你平常的（高质量的）PRNG并用桌子翻译。它很麻烦，但清晰，可行，而且完全一般。

抑制：

标准化目标直方图，然后

扔掉骰子，随机选择一个位置（x）。
再次抛出，如果新的随机数小于此bin中的标准化直方图，则选择此点。否则转到（1）。

再次，简单明了但清晰而有效。分布很慢，概率非常低（长尾峰）。

使用这两种方法，可以使用分段多项式拟合或样条来近似数据，以便在不需要步进函数直方图的情况下生成平滑曲线 - 但是将其留待以后这可能是过早的优化。

特殊情况下可能存在更好的方法。

所有这些都非常标准，如果我需要更多详细信息，它应该出现在任何数字分析教科书中。

Answer 2

有关此问题的更多信息将非常有用。例如，直方图是什么类型的值？它们是绝对的（例如，颜色，字母）还是连续的（例如，高度，时间）？

如果直方图超出分类数据，我认为除非类别之间存在许多相关性，否则可能难以对分布进行参数化。

如果直方图超过连续数据，您可能会尝试使用高斯混合物拟合分布。也就是说，尝试使用$ \ sum_ {i = 1} ^ n w_i N（m_i，v_i）$拟合直方图，其中m_i和v_i是均值和方差。然后，当你想要生成数据时，你首先从1..n中采样i，其概率与权重w_i成比例，然后像任何高斯一样采样x~n（m_i，v_i）。

无论哪种方式，您可能希望详细了解mixture models。

Answer 3

因此，为了生成给定的概率分布，我想要的是Quantile Function，它是 cumulative distribution function，正如@dmckee所说。

问题变成：生成和存储描述给定连续直方图的分位数函数的最佳方法是什么？我有一种感觉，答案将在很大程度上取决于输入的形状 - 如果它遵循任何类型的模式，那么应该在最一般的情况下进行简化。我会在这里更新。

编辑：

本周我进行了一次谈话，让我想起了这个问题。如果我放弃将直方图描述为方程式，并且只存储表格，我可以在O（1）时间内进行选择吗？事实证明，你可以在不损失精度的情况下，以O（N lgN）施工时间为代价。

创建N个项目的数组。对阵列的均匀随机选择将找到具有概率1 / N的项目。对于每个项目，存储实际应该选择此项目的命中部分，以及如果不存在该项目将选择的另一项目的索引。

加权随机抽样，C实现：

//data structure
typedef struct wrs_data {
  double share; 
  int pair;
  int idx;
} wrs_t;


//sort helper
int wrs_sharecmp(const void* a, const void* b) {
  double delta = ((wrs_t*)a)->share - ((wrs_t*)b)->share;
  return (delta<0) ? -1 : (delta>0);
}


//Initialize the data structure
wrs_t* wrs_create(int* weights, size_t N) {
  wrs_t* data = malloc(sizeof(wrs_t));
  double sum = 0;
  int i;
  for (i=0;i<N;i++) { sum+=weights[i]; }
  for (i=0;i<N;i++) {
    //what percent of the ideal distribution is in this bucket?
    data[i].share = weights[i]/(sum/N); 
    data[i].pair = N;
    data[i].idx = i;
  }
  //sort ascending by size
  qsort(data,N, sizeof(wrs_t),wrs_sharecmp);

  int j=N-1; //the biggest bucket
  for (i=0;i<j;i++) {
    int check = i;
    double excess = 1.0 - data[check].share;
    while (excess>0 && i<j) {
      //If this bucket has less samples than a flat distribution,
      //it will be hit more frequently than it should be.  
      //So send excess hits to a bucket which has too many samples.
      data[check].pair=j; 
      // Account for the fact that the paired bucket will be hit more often,
      data[j].share -= excess;  
      excess = 1.0 - data[j].share;
      // If paired bucket now has excess hits, send to new largest bucket at j-1
      if (excess >= 0) { check=j--;} 
    }
  }
  return data;
}


int wrs_pick(wrs_t* collection, size_t N)
//O(1) weighted random sampling (after preparing the collection).
//Randomly select a bucket, and a percentage.
//If the percentage is greater than that bucket's share of hits, 
// use it's paired bucket.
{
  int idx = rand_in_range(0,N);
  double pct = rand_percent();
  if (pct > collection[idx].share) { idx = collection[idx].pair; }
  return collection[idx].idx;
}

编辑2：经过一番研究，我发现甚至可以在O（N）时间内进行施工。通过仔细跟踪，您无需对数组进行排序即可找到大型和小型垃圾箱。 Updated implementation here

Answer 4

如果您需要使用加权分布的离散点来提取大量样本，请查看an answer to a similar question。

但是，如果您需要使用直方图来近似某些连续随机函数，那么您最好的选择可能是dmckee的数值积分答案。或者，您可以使用别名，并将点存储在左侧，并在两点之间选择一个统一的数字。

Answer 5

从直方图（原始或缩小）中进行选择， Walker's alias method 快速而简单。

Answer 6

对于正态分布，以下内容可能有所帮助：

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#Generating_values_for_normal_random_variables

如何生成与直方图匹配的点？

6 个答案:

数字集成

抑制：