Question

按照Chlipala一书中GeneralRec一章中给出的例子，我试图编写mergesort算法。

这是我的代码

Require Import Nat.

Fixpoint insert (x:nat) (l: list nat) : list nat :=
  match l with
  | nil => x::nil
  | y::l' => if leb x y then
              x::l
            else
              y::(insert x l')
  end.

Fixpoint merge (l1 l2 : list nat) : list nat :=
  match l1 with
  | nil => l2
  | x::l1' => insert x (merge l1' l2)
  end.

Fixpoint split (l : list nat) : list nat * list nat :=
  match l with
  | nil => (nil,nil)
  | x::nil => (x::nil,nil)
  | x::y::l' =>
    let (ll,lr) := split l' in
    (x::ll,y::lr)
  end.

Definition lengthOrder (l1 l2 : list nat) :=
  length l1 < length l2.

Theorem lengthOrder_wf : well_founded lengthOrder.
Admitted.

问题是不能用命令Fixpoint编写mergeSort函数，因为函数没有在结构上减少：

Fixpoint mergeSort (l: list nat) : list nat :=
  if leb (length l) 1 then l
  else
    let (ll,lr) := split l in
    merge (mergeSort ll) (mergeSort lr).

相反，可以将Program Fixpoint或Definition命令与术语Fix一起使用（如Chlipala一书中所述）。

但是，如果我正在写这个

Definition mergeSort : list nat -> list nat.
refine (Fix lengthOrder_wf (fun (l: list nat) => list nat)
      (fun (l : list nat) => (fun mergeSort : (forall ls : list nat, lengthOrder ls l -> list nat )=>
                           if leb (length l) 1 then
                             let (ll,lr) := split l in
                             merge (mergeSort ll _) (mergeSort lr _)
                           else
                             l))).

我实现了不可能的目标：

2 subgoals, subgoal 1 (ID 65)

  l : list nat
  mergeSort : forall ls : list nat, lengthOrder ls l -> list nat
  ll, lr : list nat
  ============================
  lengthOrder ll l

subgoal 2 (ID 66) is:
 lengthOrder lr l

这就是为什么Chlipala建议以这种方式改变mergeSort的定义：

Definition mergeSort : list nat -> list nat.
  refine (Fix lengthOrder_wf (fun _ => list nat)
              (fun (ls : list nat)
                 (mergeSort : forall ls' : list nat, lengthOrder ls' ls -> list nat) =>
                 if Compare_dec.le_lt_dec 2 (length ls)
                 then let lss := split ls in
                      merge (mergeSort (fst lss) _) (mergeSort (snd lss) _)
                 else ls)).

产生以下目标：

2 subgoals, subgoal 1 (ID 68)

  ls : list nat
  mergeSort : forall ls' : list nat, lengthOrder ls' ls -> list nat
  l : 2 <= length ls
  lss := split ls : list nat * list nat
  ============================
  lengthOrder (fst lss) ls

subgoal 2 (ID 69) is:
 lengthOrder (snd lss) ls

这个新定义对我来说听起来很神奇。所以我想知道：

从第一个定义出发，是否仍有可能证明该功能的良好性能？
否则为什么第一个定义不起作用？
基本用户如何轻松地从第一个定义转到第二个定义？

Answer 1

很容易看到您需要进行两项更改才能获得A. Chlipala的解决方案。

1）在执行split时，您需要记住ll和lr来自拆分，否则它们将是一些任意列表，其不可能比原始列表短l。

以下代码无法保存这类信息：

let (ll,lr) := split l in
  merge (mergeSort ll _) (mergeSort lr _)

因此需要替换为

let lss := split ls in
  merge (mergeSort (fst lss) _) (mergeSort (snd lss) _)

保留我们需要的东西。

由于Coq无法记住ll和lr来自split l而导致失败，因为let (ll,lr)只是match伪装（参见手册，§2.2.3）。

回想一下，模式匹配的目的是（松散地说）

解压缩归纳数据类型的某些值的组件，然后将它们绑定到某些名称（我们在答案的第2部分需要这个）
将原始定义替换为相应模式匹配分支中的特殊情况。

现在，在我们对其进行模式匹配之前，请注意split l 不会出现在目标或上下文中的任何位置。我们只是随意将它引入定义中。这就是为什么模式匹配并没有给我们任何东西 - 我们无法用{＆＃34;特殊情况＆＃34;}取代split l。（(ll,lr)）在目标或上下文中，因为任何地方都没有split l。

通过使用逻辑相等（=）：

，可以采用另一种方法

(let (ll, lr) as s return (s = split l -> list nat) := split l in
   fun split_eq => merge (mergeSort ll _) (mergeSort lr _)) eq_refl

这类似于使用remember策略。我们摆脱了fst和snd，但这是一个巨大的矫枉过正，我不会推荐它。

2）我们需要证明的另一件事是ll和lr在l时比2 <= length l短。

由于if - 表达式也是伪装的match（它适用于完全两个构造函数的任何归纳数据类型），我们需要一些机制来记住leb 2 (length l) = true分支中的then。同样，由于我们在任何地方都没有leb，因此这些信息会丢失。

该问题至少有两种可能的解决方案：

要么我们记住leb 2 (length l)作为一个等式（就像我们在第一部分中所做的那样），或者
我们可以使用一些比较函数，其结果类型的行为类似bool（因此它可以代表两种选择），但它也应该记住我们需要的一些其他信息。然后我们可以对比较结果进行模式匹配并提取信息，当然，在这种情况下，必须是2 <= length l的证据。

我们需要的是能够在m <= n返回leb m n的情况下携带true证明的类型，以及m > n的证据，否则。标准库中有一种类型就是这样！它被称为sumbool：

Inductive sumbool (A B : Prop) : Set :=
    left : A -> {A} + {B} | right : B -> {A} + {B}

{A} + {B}只是sumbool A B的符号（句法糖）。就像bool一样，它有两个构造函数，但是它还记得两个命题A和B中的任何一个的证明。当您使用bool对其进行案例分析时，它优于if的优势显示：您在A分支中获得了then的证明，并证明了B在else分支中。换句话说，您可以使用事先保存的上下文，而bool不承载任何上下文（仅在程序员的头脑中）。

我们需要的确如此！好吧，不在else分支中，但我们想在2 <= length l分支中获得then。所以，让我们问Coq它是否已经有一个带有返回类型的比较函数：

Search (_ -> _ -> {_ <= _} + {_}).

(*
output:
le_lt_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {m < n}
le_le_S_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {S m <= n}
le_ge_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {n >= m}
le_gt_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {n > m}
le_dec: forall n m : nat, {n <= m} + {~ n <= m}
*)

五个结果中的任何都可以，因为我们只需要在一个案例中提供证据。

因此，我们可以将if leb 2 (length l) then ...替换为if le_lt_dec 2 (length l) ...并在证明上下文中获取2 <= length，这样我们就可以完成证明。

使用Fix或Program Fixpoint在Coq中编写有根据的程序

1 个答案: