使用Groebner基础解决系统

Question

假设C [x，y，z]中的一组有限多项式具有有限数量的解（即生成的理想是0维）。

假设关于lex order x＆gt; y＆gt; z的Groebner基础是

[f（z），g（y，z），h（y，z），k（x，y，z）]

众所周知，系统现在可以轻松解决：选择f的根z0，将其插入g和h并查找公共根（y0）等。

问题如下： 是的，对于f的每个根z0都存在y0，z0使得（x0，y0，z0）满足系统吗？

在我看到的所有例子中都是如此，但我不知道这是否属实，或者是否存在反例。

谢谢。

Answer 1

是的，z0的任何根f都可以扩展到系统(x0,y0,z0)的根f = g = h = k = 0。

要看到这一点，请考虑Iz = <f>， 其中Iz是生成的零维理想I与C[z]和<f>的交集，是f生成的理想选择。从证据中可以看出，I与C[xi]对所有变量xi的非平凡交点意味着有限零集（参见例如here，第2页底部和特别是第3页顶部），<f>包含一个多项式，它仅在z的{​​{1}} - I的公共根中的值的最小多项式的（幂）中计算。由于f除了这个多项式，它也只有根可以扩展到系统的根。