Question

我必须解决一个由32个xor方程组成的系统，每个方程涉及32个变量中的15个。一个看起来像这样：

i[0] = p[0] ^ p[4] ^ p[5] ^ p[10] ^ p[11] ^ p[20] ^ p[21] ^ p[22] ^ p[23] ^ p[25] ^ p[26] ^ p[27] ^ p[28] ^ p[30] ^ p[31]

i [n]和p [n]是16位整数。

据我所知，我最终会得到一个32x32矩阵（仅包含1和0）和32个结果向量。

显然高斯消除是我所需要的，但我无法解决问题，有人能给我一些关于如何解决这个问题的见解吗？

编辑：这是C ++中的解决方案

void SolveLinearSystem(u8 A[32][32], u8 B[32])
{
int N = 32;
for (int K = 0; K < N; ++K) 
{
    if( A[K][K] == 0 ) 
    {
        for(int i = K + 1; i<N ; ++i ) 
        { 
            if(A[i][K] != 0) 
            {
                for( int L = 0; L < N; ++L )
                {
                    int s = A[K][L];
                    A[K][L] = A[i][L];
                    A[i][L] = s;
                }
                int s = B[i];
                B[i] = B[K];
                B[K] = s;
                    break;
            }
        }
    }

    for( int I = 0; I<N; ++I)
    {
        if( I!=K )
        { 
            if( A[I][K] ) 
            { 
                int M = 0;
                for( M=K; M<N; ++M ) 
                { 
                    A[I][M] = A[I][M] ^ A[K][M]; 
                }
                B[I] = B[I] ^ B[K];
            }
        }
    }
}
}

Answer 1

是的，您可以使用高斯消除来解决此问题。关键是要认识到XOR运算相当于加法模2.所以你写的等式相当于

i[0] = (p[0] + p[4] + ... ) mod 2

然后，您可以将整个系统设置为矩阵方程式

M*p=i mod 2

你可以像往常一样使用高斯消除来解决这个问题，除了你的所有操作都将以模2执行。因为你的矩阵包含很多0，所以你将不得不使用旋转，但除此之外，算法是一样的。

Answer 2

如果您熟悉解决常规方程组，那么这不是主要步骤。当在方程组中使用实数时，你会像这样消除：

[a b; c d] -> [a b; 0 d-(b*c/a)] -> [a 0; 0 d-(b*c/a)] -> [1 0; 0 1]

注意：这里我使用MATLAB矩阵表示法来简化输入。

要做的重要实现是任何字段都存在所有这些矩阵运算（即除法，乘法，加法和减法），而不仅仅是实数。如果您不熟悉术语 field ，它只是意味着一组允许乘法，否定，反转，加法等的值。

这需要我们解决xor方程组。您目前将系统描述为一堆16位值xor'd。但是，我选择将它表示为一堆xor'd的方式，例如，如果你的第一个等式是：

p[0] = a[1] ^ a[2]

我将此表示为：

p[0][0] = a[1][0] ^ a[2][0]
p[0][1] = a[1][1] ^ a[2][1]
…

其中第二组括号表示16位值中的bit偏移量。所以，你的每个小方程式都相当于16个方程式。

布尔运算上的单位xor运算形成一个字段。在这个字段中，我们使“加法”运算符等效于xor。我们可以如下定义加法和乘法表：

1 + 0 = 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 0 + 0 = 0
1 * 0 = 0 * 1 = 0 * 0 = 0; 1 * 1 = 1

除法只能为1（因为你不能除以零），因此除法运算符会保留一个元素。

有了这个，你应该能够为你的xor方程组形成一个矩阵。该矩阵将完全由1和0组成。然后使用高斯 - 约旦消除算法（实际上并不太难实现）就像普通实数一样。这将允许您反转矩阵并找到解决方案。

我个人对这个问题非常感兴趣，我写了一个小的C ++矩阵实现，允许你提供你喜欢的任何字段。这可能是一个很好的起点，或者您甚至可能希望完全使用我的代码！这是Github上的源代码：XorSystem。我特别建议在ANMatrix上查看invert（）方法。

求解XOR方程组

2 个答案: