减少排序网络

Question

排序网络是2个输入比较器的排列，可以对n个元素的输入序列进行排序。 例如，这是一个9元素输入的排序网络：

每条垂直线是2输入比较器，输入序列在左侧输入，排序序列在右侧。

我的问题是：如何证明如果我们删除任何有效n输入排序网络的顶线或底线，我们最终会得到一个有效的排序网络（n-1）输入？删除任何中间线怎么办？

我觉得这可以使用排序网络的图形表示来显示，但我找不到合适的表示。

Answer 1

确实可以删除顶部或底部线。证明这一点的一种方法是使用Knuth的0-1原理，该原则指出当且仅当每个0和1序列正确排序时，排序网络才是正确的。让S成为排序网络，让S'成为S，并删除顶行。设x为S'的0-1输入。将0x传递给S。通过归纳，我们可以证明k阶段之后的值一致（除了删除的顶线），因为涉及顶线的所有门都是无操作。因此S'是一个正确的排序网络。

一般情况下，我们无法移除中间线。例如，考虑一下网络

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