Question

我最近遇到了这个问题：

每个宽度为1的n直方图的高度。您必须选择任意两个直方图，如果它开始下雨并且所有其他直方图（除了您选择的两个直方图）被删除< / strong>，然后在两个直方图之间收集的水最大化。

Input: 9 3 2 5 9 7 8 1 4 6 Output: 25 在第三个和最后一个直方图之间。

这是Trapping rain water问题的变体。

我尝试了两种解决方案，但两者的最坏情况都是N ^ 2。我们如何进一步优化。

Sol1：每对的蛮力。

int maxWaterCollected(vector<int> hist, int n) { int ans = 0; for (int i= 0; i < n; i++) { for (int j = i + 1; j < n; j++) { ans = max(ans, min(hist[i], hist[j]) * (j - i - 1)); } } return ans; }

Sol2：按照高度递增顺序保留一系列直方图。对于每个直方图，在此序列中找到其最佳直方图。现在，如果所有直方图都按递增顺序排列，那么这个解决方案也会变成N ^ 2.

int maxWaterCollected(vector<int> hist, int n) { vector< pair<int, int> > increasingSeq(1, make_pair(hist[0], 0)); // initialised with 1st element. int ans = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { // compute best result from current increasing sequence for (int j = 0; j < increasingSeq.size(); j++) { ans = max(ans, min(hist[i], increasingSeq[j].first) * (i - increasingSeq[j].second - 1)); } // add this histogram to sequence if (hist[i] > increasingSeq.back().first) { increasingSeq.push_back(make_pair(hist[i], i)); } } return ans; }

Answer 1

使用2个迭代器，一个来自begin()，另一个来自end() - 1。

直到2迭代器相等：
将当前结果与最大值进行比较，并保持最大值
使用较小的值移动迭代器（开始 - >结束或结束 - >开始）

复杂性：O(n)。

Answer 2

Jarod42有正确的想法，但从他的简洁帖子中不清楚为什么他的算法（下面用Python描述）是正确的：

def candidates(hist):
    l = 0
    r = len(hist) - 1
    while l < r:
        yield (r - l - 1) * min(hist[l], hist[r])
        if hist[l] <= hist[r]:
            l += 1
        else:
            r -= 1


def maxwater(hist):
    return max(candidates(hist))

正确性的证明是通过归纳：最佳解决方案要么（1）属于到目前为止产生的候选者，要么（2）选择[l, r]内的直方图。基本情况很简单，因为所有直方图都在[0, len(hist) - 1]内。

归纳地，假设我们即将推进l或r。这些案例是对称的，所以我们假设我们即将推进l。我们知道hist[l] <= hist[r]，因此值为(r - l - 1) * hist[l]。给定任何其他正确的端点r1 < r，值为(r1 - l - 1) * min(hist[l], hist[r1])，因为r - l - 1 > r1 - l - 1和hist[l] >= min(hist[l], hist[r1])较少。我们可以排除所有这些解决方案的次优，因此推进l是安全的。

两个直方图之间的最大水量是多少？

2 个答案: