Question

因此，对于10000，将添加值1/10000 10000次。从逻辑上讲，这给出了10001。但是，由于涂抹不会发生这种情况，这源于存储限制。结果是10000.999999992928。我找到了涂抹的位置，这是第二次添加：

1:  10000.0001
2:  10000.000199999999
3:  10000.000299999998
4:  10000.000399999997
etc...

然而，掌握涂抹的原因是斗争的所在。我编写代码来生成浮点二进制数，以查看是否发生了拖尾

So 10000 = 10011100010000 or 1.001110001*10**13 while

0.0001= 0.00000000000001101001 or 

1.1010001101101110001011101011000111000100001100101101*2**(-14)

then 10000.0001 = 10011100010000.00000000000001101001

现在在下一次添加时会出现拖尾现象。是否与尾数大小有关？为什么它只在这一步中出现？只是有兴趣知道。我将首先添加所有1/10000，然后将其添加到10000以避免晃动。

Answer 1

主要问题是1/10000即0.0001无法完全编码为机器浮点值（请参阅IEEE 754标准），因为10000不是2. 1/10 = 0.1也不能编码为机器浮动，因此您将体验到像0.1 + 0.1 + 0.1 > 0.3这样的phanomena。

当使用双精度（64位）进行计算时，以下内容成立：

1.0001 - 1 < 0.0001
10000.0001 + 9999*0.0001 == 10001

所以我假设您使用单精度（32位）进行计算？

Answer 2

单次添加的小“拖尾”错误可以完全按照

计算

a=10000; b=0.0001
err = ((a+b)-a)-b
print "err=",err

>>> err= -7.07223084891e-13

添加的舍入误差大小为(abs(a)+abs(b))*mu/2或大约1e4 * 1e-16 = 1e-12，这非常适合计算结果。一般来说，你还必须测试表达式((a+b)-b)-a，但其中一个总是为零，这里是后一个。

事实上，在所有步骤中积累的这一步误差已经给出了观察结果，与总和缓慢增加相关的二次误差，因为每次添加的第一项影响要小得多。

print err*10000
>>> -7.072230848908026e-09
print 10001+err*10000
>>> 10000.999999992928

机器算术和涂抹：添加大量的小数

2 个答案: