Question

我是线性代数的新手，我正在尝试用五个未知数求解三个方程组。我的系统如下：

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
-x1 + x2 + x3 - 2x4 - 2x5 = 1
2x1 + 2x2 - x3 - x4 + x5 = 1

所以我所做的是像这样设置增强矩阵：

    1  1  1  1  1  1
   -1  1  1 -2 -2  1
    2  2 -1 -1  1  1

然后我尝试在左侧获得一个单位矩阵，最后得到以下内容：

    1  0  0  3/2  3/2  0
    0  1  0 -3/2 -5/6  2/3
    0  0  1  1    1/3  1/3

所以我认为答案是x1 = 0，x2 = 2/3和x3 = 1/3

但是当我查看答案表时，它会显示：

（x1，x2，x3，x4，x5）=（0,2 / 3,1 / 3,0,0）+ s（-3 / 2,3 / 2，-1,1,0）+ t（-3 / 2,5,5 / -1，-1 / 3,0,1）

我不知道如何解释这个。我的x1，x2，x3似乎与前五个元组中的前三个相匹配，但是其他两个五元组是什么？有人可以解释我在这里缺少的东西吗？我非常感谢。

Answer 1

方程组可以矩阵形式表示为

Ax = b

其中A是系数矩阵，x是列向量(x1, ..., xn)，b是列向量，条目数与方程式一样多。

当b不是0时，我们说系统不是同质的。关联的同类系统是

Ax = 0

右侧的0也是列向量。

当你有一个非同质系统时，就像这种情况一样，通用解决方案的形式为

P + G

其中P是任何特定解决方案，G是同类系统的通用解决方案。

在你的情况下，矢量

P = (0, 2/3, 1/3, 0, 0)

满足所有方程，因此是一个有效的特定解决方案。

另外两个向量(−3/2, 3/2, −1, 1, 0)和(−3/2, 5/6, −1/3, 0, 1)满足齐次方程（花点时间检查一下）。由于3（独立）方程有5个未知数（x1 .. x5），因此可以通过这两个向量生成均匀解的空间（同样是因为他们是独立的。）

因此，要描述所有同构解的空间，您需要两个标量变量s和t。换句话说

 G = s(−3/2, 3/2, −1, 1, 0) + t(−3/2, 5/6, −1/3, 0, 1)

将生成所有同类解，s和t获取所有可能的实际值。