Question

给定n >= 0 and n < min (length xs) (length ys) 显示(zip xs ys)!!n = (xs!!n, ys!!n)结构感应超过xs。

甚至可以以干净的方式做到这一点吗？我无法找到可以使用Induction Hypothesis的任何地方。

Answer 1

首先，我将给出zip和!!的定义：

zip :: [a] -> [b] -> [(a,b)]
zip [] [] = []                             -- (zip-1)
zip (x:xs) (y:ys) = (x,y) : zip xs ys      -- (zip-2)
zip _ _ = []                               -- (zip-3)

(!!) :: [a] -> Int -> a
(x : _) !! 0 = x                           -- (!!-1)
(_ : xs) !! n = xs !! (n - 1)              -- (!!-2)

让xs，ys和n任意。现在，假设n >=0和n < min (length xs) (length ys)。我们在xs上进行了归纳。

案例xs = []。现在我们对ys进行案例分析。在这两种情况下，我们都认为没有n >=0和n < min (length xs) (length ys)。所以，这个案子很简单。
案例xs = x : xs'。我们继续ys的案例分析。
案例xs = x : xs'和ys = []。同样，我们的定理很简单，因为没有n，n >=0和n < min (length xs) (length ys)。
案例xs = x : xs'和ys = y : ys'。现在我们对n进行案例分析。

案例xs = x : xs'，ys = y : ys'和n = 0。我们有那个

zip (x : xs') (y : ys') !! 0 = {by equation (zip-2)}
(x,y) : zip xs' ys'     !! 0 = {by equation (!!-1)}
(x,y)                        = {by equation (!!-1) - backwards}
((x : xs') !! 0, (y : ys') !! 0).

案例xs = x : xs'，ys = y : ys'和n = n' + 1。

 zip (x : xs') (y : ys') !! (n + 1) = {by equation zip-2}
 (x,y) : zip xs' ys' !! (n + 1) = {by equation (!!-2)}
 zip xs' ys' !! n               = {by induction hypothesis}
 (xs' !! n , ys' !! n)          = {by equation (!!-2) backwards}
 ((x : xs') !! (n + 1), (y : ys') !! (n + 1))

QED

希望这会有所帮助。

结构感应 - （zip xs ys）!! n =（xs !! n，ys !! n）

1 个答案: