列举所有可能的决策规则
我有m个输入变量I_1, ..., I_m来决定。每个变量可能有n个可能的值。决策结果D是二进制的。
决策规则R是从集合D x I_1 x ... x I_m到集合{0, 1}的映射，因此对于任何(i_1, ..., i_m) in I_1 x ... x I_m，它都拥有1 = sum_(d in D) R(d, i_1, ..., i_m)。即：对于任何输入值组合，只能做出一个决定。
例如，如果没有任何输入变量，您有两个决策规则：
D R1 R2
a 0 1
b 1 0
当R1选择b时，R2选择决定a。
使用一个二进制输入变量I，您有四个可能的决策规则：
I D R1 R2 R3 R4
0 a 0 0 1 1
0 b 1 1 0 0
1 a 0 1 0 1
1 b 1 0 1 0
如果输入为R2，那么决策规则b会选择0，如果输入为a，则会选择1。
使用两个二进制输入变量I和K，您有16个可能的决策规则
I K D R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14 R15 R16
0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 b 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 a 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 b 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 1 a 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 b 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 a 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 b 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
我的问题如何为任意一组输入变量枚举所有可能的决策规则？
免责声明：这是家庭作业的一部分。然而，作业仅限于具有一个二进制输入变量的情况，使得人们可以简单地枚举所有四种情况。我通过了这部分作业 - 实际上根本没有必要进行枚举 - 但我对matlab中的一般解决方案很感兴趣。
1 个答案:
答案 0 :(得分：1)
如何枚举所有可能的决策规则 任意一组输入变量？
首先分析和理解在我们根据数字（n写下决策规则（R）的二进制permutations时可见的重复模式 ）输入变量（V）。然后构建一个自动生成这些排列的集合函数，并显示一个包含结果的表格，就像您手工完成一样。
在代码方面，有许多不同的有效方法可以解决这个问题，但从我的角度来看，我认为使用逻辑矩阵是一种很好的方法。我将调用此矩阵（M）。该矩阵有三个部分（如说明中的表格）：
- 左：输入变量的
n列（V） - 中心：
1列，用于决定（D） - 右：
2^(2^n)列，用于决策规则（R） - A =
0 - B =
1 - 行（＆＃34; 州＆＃34;）以
2^(n + 1)的速度增长
- 列的增长率为
(n + 1) + 2^(2^n)：n列，用于输入变量+1列，用于决策（D）+2^(2^n)列，用于决策规则（R）。
既然你的问题有两个决定（A和B），我们也可以将它们视为逻辑值：
注意：我为A和B选择了这个值，而不是相反的值，因为它允许我们生成二进制排列（我将调用＆＃34; 状态＆＃34;输入变量（V）和决策（D）使用自然二进制计数。
对于n = 0，M看起来像是：
0 0 1
1 1 0
对于n = 1，M看起来像是：
0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0
对于n = 2，M看起来像是：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
如你所说，M的大小很快就会增长：
从之前的矩阵中我们几乎无法区分任何重复模式，但如果我们使用颜色，我们可以清楚地看到决策规则（R）区域中的某些模式：
n = 0：
n = 1：
n = 2：
我们可以看到有相同＆＃34; 单元格式＆＃34;的行方式副本。 （盒装数字）。每个＆＃34; 单元模式＆＃34;是2行宽和2^(2^n)/k列宽（其中k是每两行模式的重复次数）。 M中的第一个模式始终是一个副本（k = 1），k每两行重复一次。
我们将使用所有这些信息来创建一组函数，这些函数允许我们通过使用table来调用所有可能的决策规则，我将调用它（T）。
我编写了一个名为CalcParams的函数，它根据M计算问题的所有必要参数（例如n的行数和列数等）：
function[a, b, c, d, e] = CalcParams(n)
% Calculate necessary parameters.
% Inputs:
% n - number of input variables.
% Number of states (rows).
a = 2^(n + 1);
% Number of decision rules (R) (decision rules columns).
b = 2^(2^n);
% Column index of first decision rule (R1).
c = n + 2;
% Number of columns of input variables (V) and decision (D).
d = n + 1;
% Total number of columns.
e = d + b;
end
然后我编写了一个名为ValidDecRules的函数，它给出了n和M，检查输入决策规则是否符合要求：
对于输入变量的任何组合，只能做出一个决定。
如果决策规则符合要求，则函数返回1并显示消息VALID decision rules，否则函数返回0并显示消息INVALID decision rules。
function[val] = ValidDecRules(n, M)
% This function checks if the input decision rules meet the requirement:
% For any combination of input variables only one decision is possible.
% Inputs:
% n - number of input variables.
% M - binary matrix.
% Calculate necessary parameters.
[~, ~, c, ~, e] = CalcParams(n);
% Invalid decision rules by default.
val = 0;
% Extract odd rows from decision rules (R).
M_odd = M(1:2:end, c:e);
% Extract even rows from decision rules (R).
M_even = M(2:2:end, c:e);
% Check that all elements of the odd rows are different than the elements
% of the even rows.
if(all(all(M_odd ~= M_even, 1), 2))
% Valid decision rules.
val = 1;
disp('VALID decision rules');
else
% Invalid decision rules.
disp('INVALID decision rules');
end
end
然后我编写了一个名为GenM的函数，它根据M生成二进制矩阵n，如果使用可选参数'plot'，它将绘制决策规则M使用imagesc。
function[M] = GenM(n, varargin)
% This function generates the binary matrix M.
% Inputs:
% n - number of input variables.
% Options:
% 'plot' - plot decision rules of M.
% Calculate necessary parameters.
[a, b, c, d, e] = CalcParams(n);
% Anonymous functions.
f1 = @(v, k) uint8(repmat(v, 1, k));
f2 = @(v, k) f1([v; ~v], k);
f3 = @(b, k) f2([false(1, b/(2*k)), ~false(1, b/(2*k))], k);
% Binary permutations of input variables (V) and decision (D).
Dec = 0:a-1; % Array: decimal representation of every state.
Bin = dec2bin(Dec); % Array: binary representation of every state.
% Preallocate matrix M.
M(length(Bin), d) = 0;
% Loop: input variables (V) and decision (D).
% Writes binary states in matrix M.
for i = 1:d
M(:, i) = uint8(str2num(Bin(:, i)));
end
% Loop: decision rules.
% Writes binary permutations of decision rules (R) in matrix (M).
% Start with k = 1.
k = 1;
for i = 1:2:a
M(i:(i + 1), c:e) = f3(b, k);
k = k*2;
end
% Continue only if decision rules (R) are valid.
if(ValidDecRules(n, M))
% Plot decision rules if 'plot' option is used.
if(~isempty(varargin))
if(any(strcmp(varargin, 'plot')))
% Visualize decision rules as image.
imagesc(M(:, c:e));
title('Decision Rules (R)');
colormap summer;
axis off;
end
end
else
% If decision rules are invalid, return empty output.
M = [];
end
end
最后，我编写了一个名为EnumDecRules的函数，该函数使用n并生成一个表T，与您问题描述中的表格非常相似。该函数还返回用于生成M的二进制矩阵T。如果您使用'plot'可选参数，它将绘制M的决策规则（如GenM函数）。
EnumDecRules函数是真正回答您问题的函数，因为它具有您要求的行为。
function[T, M] = EnumDecRules(n, varargin)
% This function generates the table (T) with the results and also returns
% the binary matrix M that was used to generate T.
% Inputs:
% n - number of input variables.
% Options:
% 'plot' - plot decision rules of M.
% Calculate necessary parameters.
[a, ~, ~, d, e] = CalcParams(n);
% Generate the binary matrix M.
M = GenM(n, varargin{:});
if(~isempty(M))
% Loop: variable names to diplay in table header.
% Initialize indexes for numbering.
Vi = 1; % Input variable numbering index.
Ri = 1; % Decision rules numbering index.
for i = 1:e
if i <= n
% Input variables.
% Write V[Vi].
Names{i} = ['V', sprintf('%d', Vi)];
% Increase index.
Vi = Vi + 1;
elseif i == d
% Decision.
% Write D.
Names{i} = 'D';
elseif i > d
% Decision rules.
% Write R[Ri].
Names{i} = ['R', sprintf('%d', Ri)];
% Increase index.
Ri = Ri + 1;
end
end
% Generate table with results.
T = array2table(M, ...
'VariableNames', Names);
% Modify decision column (D) of table.
% Replace 0 with 'A'.
% Replace 1 with 'B'.
T.D = repmat({'A'; 'B'}, a/2, 1);
else
% If M is empty, return empty output.
T = [];
end
end
用法示例：
确保将所有功能正确保存在同一目录中。
示例1：
调用EnumDecRules函数枚举n = 1的所有可能决策规则：
[T, M] = EnumDecRules(1)
这些是输出：
VALID decision rules
T =
V1 D R1 R2 R3 R4
__ ___ __ __ __ __
0 'A' 0 0 1 1
0 'B' 1 1 0 0
1 'A' 0 1 0 1
1 'B' 1 0 1 0
M =
0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0
示例2：
调用EnumDecRules函数枚举n = 2的所有可能决策规则，并绘制决策规则：
[T, M] = EnumDecRules(2, 'plot')
这些是输出：
VALID decision rules
T =
V1 V2 D R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14 R15 R16
__ __ ___ __ __ __ __ __ __ __ __ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
0 0 'A' 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 'B' 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 'A' 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 'B' 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 'A' 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 'B' 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 'A' 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 'B' 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
M =
Columns 1 through 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1 0 1 0
Columns 10 through 18
0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1
Column 19
1
0
1
0
1
0
1
0
情节：
由于此类算法增长如此之快，因此EnumDecRules使用GenM或n >= 5会导致内存不足错误。
我真的希望这会有所帮助。如果您对代码的具体说明有任何疑问，请发表评论，我很乐意回答。
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