Question

我已经编写了一个用于生成子集求和的程序，该程序可能会在这个问题中使用：

假设您有3个1美元硬币，2个 $ 2硬币，3 $ 5硬币，1 $ 10硬币，有4种方法可以从中获得10美元那些硬币。如果有n1 $ X1 硬币，n2 $ X2硬币.... nm $ Xm硬币，我们可以从多少种方式获得$ X. 这些有限数量的硬币？

如果我们创建一组{X1，X1 ..... X1，X2，X2 .......... X2，...，...，....... .....，Xm，Xm ... Xm}，然后对它运行Subset求和，当然我们可以得到$ X的结果。但是我找不到使用集合{n1，n2，n3 ...... nm}，{X1，X2，X3 ...... Xm}的方法。一位朋友告诉我，这是背包问题的变种，但我不确定，如何。

这是我写的部分代码：

ways[0]=1, mylim=0;
for(i=0;i<count;i++){
    if(mylim+coins[i]<=LIMIT) mylim+=coins[i];
    else mylim=LIMIT;

    for(j=mylim; j>=coins[i];j--){
        ways[j]=(ways[j]+ways[j-coins[i]])%MOD;
    }
}

如果你能够精心解释一下，那对我来说会很棒。

修改：这个问题更适合计算机科学的堆栈交换，但由于这是我的一个老问题，我宁愿在这里编辑它。

这个问题可以通过包含排除原则来解决，当我们确定硬币值但每个硬币的数量随每个查询而变化时，它会很方便。

假设，方式[v] 是使用 $ x1 ， $ x2 制作 $ v 的方法， .. $ xm ，每个都根据需要多次使用。现在，如果我们只使用 n1 个数 $ x1 ，我们必须至少使用（ n1 + 1）个数来减去配置 $ x1 （实际上是方式 [ v - （n1 + 1）x1 ]）。此外，如果我们只使用 n2 个数 $ x2 ，我们必须减去方式 [ v - （n2 + 1） x2 ]等等。

现在，我们已经两次减去配置，其中至少（ n1 + 1） $ x1 和（ n2 + 1） $ x2 ，因此我们需要添加方式 [ v - （n1 + 1）x1 - （n2 + 1）x2 ]等。

特别是，如果，

N =所有硬币使用尽可能多的配置集

Ai =一组配置，其中至少使用 ni + 1个 $ xi 的数字，1＆lt; = 我＆lt; = m ，然后

我们正在寻找的结果= | N | - | A1 | - | A2 | .. - | 上午 | + | A1 和 A2 | + | A1 和 A3 | + ... - | A1 和 A2 和 A3 | .....

使用无限制硬币计算配置数量的代码实际上更简单：

ways[0]=1;
for( int i = 0 ; i < count ; i++){
    for( int j = coins[i] ; j < ways.size() ; j++ ){
        ways[j] += ways[j-coins[i]];
    }
}

Answer 1

我们假设您的所有ni都是1。

让ways[j] = number of ways of obtaining sum j。

你可以这样计算（这就是你正在做的，但我不知道你为什么命名你的变量primes）。

ways[0] = 1
for i = 1 to m do
    for j = myLim downto X[i] do
        ways[j] += ways[j - X[i]];

这意味着您只能使用价值Xi的每个硬币一次。您可以添加另一个循环以至少使用一次，最多使用ni次：

ways[0] = 1
for i = 1 to m do
    for times = 1 to n[i] do // use Xi one time, then two times, then three, ..., then ni
        for j = myLim downto times*X[i] do
            ways[j] += ways[j - times*X[i]];

你仍然可以应用你的模数并计算你的限制，为了简单起见我把它们留下了。

Answer 2

问题被称为“硬币问题”，并且已知是NP难的。

您可以稍微了解一下here.

用有限数量的硬币更换硬币

2 个答案: