如何在MATLAB中计算eps（）？

Question

MATLAB中的eps例程实质上返回浮点数之间的正距离。它也可以采用可选参数。

我的问题：MATLAB如何计算这个值？ （它是使用查找表，还是使用某种算法在运行时计算它，或其他什么......？）

相关：在给定浮点数的情况下，如何在提供位访问的任何语言中计算？

Answer 1

WIkipedia has quite the page on it

特别是对于MATLAB，它是2 ^（ - 53），因为MATLAB默认使用双精度。这是图表： 它是符号的一位，指数为11，其余为分数。

MATLAB documentation on floating point numbers也表明了这一点。

  

d = eps(x)，其中x的数据类型为single或double，返回从abs(x)到下一个与x精度相同的较大浮点数的正距离。

由于并非所有分数在数字线上的间距相等，因此不同分数将在相同精度内显示到下一个浮点的不同距离。他们的位代表是：

1.0 = 0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.9 = 0 01111111110 1100110011001100110011001100110011001100110011001101

两者的符号都是正数（0），指数不相等，当然它们的分数差别很大。这意味着下一个浮点数将是：

dec2bin(typecast(eps(1.0), 'uint64'), 64) = 0 01111001011 0000000000000000000000000000000000000000000000000000
dec2bin(typecast(eps(0.9), 'uint64'), 64) = 0 01111001010 0000000000000000000000000000000000000000000000000000

不一样，因此eps(0.9)~=eps(1.0)。

Answer 2

以下是对eps的一些见解，它将帮助您编写算法。

见eps(1) = 2^(-52)。现在，假设您要计算eps的{​​{1}}。请注意，我选择了17179869183.9小于0.1的数字（换句话说，类似2^34）。要计算此2^(33.9999...)，您可以计算数字的eps，如前所述，这将是〜log2。获取此33.99999...这个数字，并将其添加到floor()，因为-52和给定的数字eps(1) = 2^(-52)。因此，2^(33.999...)。

如果你取一个小于2 ^ 34的数字，例如eps(17179869183.9) = -52+33 = -19，那么log2（eps（17179869184.1。）这也表明17179869184.1)) = -18值会改变对于作为你的基数（或基数）的整数幂的数字，在这种情况下2.由于eps值仅在整数幂为2的数字上发生变化，我们取eps幂。对于任何使用此数字的数字，您都可以获得floor的完美价值。我希望它很清楚。

Answer 3

MATLAB使用（以及其他语言）IEEE754标准来表示实际浮点数。

在这种格式中，为近似实际 ¹ 实数而分配的位，通常为32 - 对于单精度或64 - 对于双精度，分组为：3组

• 1位用于确定标志，s。
• 指数的8位（或11位），e。
• 分数的23（或52）位，f。

然后一个实数n用近似的三项 - 关系近似：

n =（ - 1） ^s * 2 ^{（e - 偏差）} *（1 +分数）

其中bias负偏移 ² 指数的值，以便它们描述0到1 /（1和2）之间的数字。

现在，这个差距反映了这样一个事实，即实数并不能完美地映射到它们的有限的32位或64位表示，此外，还有一系列实数与abs值相差< eps映射到计算机内存中的单个值，即：如果将值val分配给变量var_i

  

var_1 = val - 偏移
  ...
  var_i = val;
  ...
  val_n = val + offset

，其中

  

偏移＆lt; eps（val）/ 2

然后：

  

var_1 = var_2 = ... = var_i = ... = var_n。

差距由包含指数（或特征）的第二项确定：

2 ^{（e - 偏差）}

在上述关系 ³ 中，它决定了近似数字所在的“line”的“scale”，数字越大，它们之间的距离越大，它们的精确度就越小，反之亦然：数字越小，表示的位置越密集，因此越准确。

在实践中，要确定特定数字eps(number)的差距，您可以先添加/减去逐渐增加的小数，直到兴趣数的初始值发生变化 - 这会给您带来差距在那个（正面或负面）方向，即eps(number) / 2。

要检查MATLAB的eps（或ULP - 最后一个单位的可能实现，因为它在其他语言中调用），您可以搜索C，C ++或Java中的ULP实现，这些是语言MATLAB是用。

编写的

^{1。实数是无限精确的，即它们可以以任意精度写入，即小数点后的任意位数。}

^{2。通常在一半左右：单精度8位表示从1到2 ^ 8 = 256的十进制值，在我们的情况下大约一半是：127，即2 （e-127）}

^{2。可以认为：2 （e - bias），表示数字的最高有效数字，即有助于描述数字有多大的数字，而不是最低有效数字有助于描述其精确位置。那么包含指数的项越大，该分数的23位的重要性就越小。}