计算任意多边形的符号距离变换

Question

如何计算多边形的符号距离函数，由任意一组点描述。多边形可以是凹的或凸的。假设这些点存储在具有逆时针绕组的std::vector中。

更新

让我更具体一点。这不是网格上的采样函数。我需要能够检测沿多边形绘制的任意线段的符号变化（不一定与多边形相交），而不检查每个线段的单个交叉点。问题是，我可能有数千个线段。

有人能想出一种有效的方法吗？

如果我可以参数化地表达SDF，我可以计算一个导数来实现这一点。

Answer 1

首先旋转所有点，使线与x轴平行。然后平移，使线条为x轴。然后作为测试整合。直线x0y0 x1y1下的区域计算起来非常简单。您可以将所有表达式求和以获得不定积分或有符号区域，该区域应独立于轴（因为曲线下的点减去）。现在回答具体问题，在x中排序，使您能够找到给定x的点值。因此，创建两个＆＃34;事件＆＃34;，部分开始，和部分＆＃34;结束＆＃34;用指针或引用返回start事件。然后，为了在任何点获得距离变换，我们计算所有与感兴趣的x交叉的事件。如果您希望每个事件间隔都使用分段函数，那么实际上这一点可以稍微简单一些，因为您可以从头到尾传递队列。

Answer 2

坏消息：在最坏的情况下，线段可以与N点中的多边形相交，这可能会出现在所有M线段上。因此，在最坏的情况下，细分与边的详尽比较是不可避免的。这有利于蛮力方法。

幸运的是，使用扫描线方法，输出敏感解决方案以N线段的交叉问题而闻名。复杂性可以降低到O((N+K) log N)或O(N log N + K)，其中K是找到的交叉点数。