Question

问题：

在2维平面上给出N个点。同一直行的最大点数是多少？

问题有O（N ²）解决方案：遍历每个点并找到与当前点有相同dx / dy的点数。将dx / dy关系存储在哈希映射中以提高效率。

这个问题比O（N ²）有更好的解决方案吗？

Answer 1

在标准的计算模型中，这个问题可能没有明显优于O（n ^ 2）的解决方案。

找到三个共线点的问题减少了找到通过最多点的线的问题，找到三个共线点是3SUM-hard，这意味着在小于O（n ^ 2）时间内求解它是一个重要的理论结果。

有关找到三个共线点的信息，请参阅previous question。

供您参考（使用已知证明），假设我们想要回答3SUM问题，例如在列表X中查找x，y，z，使得x + y + z = 0.如果我们有一个快速算法共线点问题，我们可以使用该算法来解决3SUM问题如下。

对于X中的每个x，创建点（x，x ^ 3）（现在我们假设X的元素是不同的）。接下来，检查创建的点中是否存在三个共线点。

要看到这是有效的，请注意，如果x + y + z = 0，则从x到y的线的斜率为

（y ^ 3 - x ^ 3）/（y - x）= y ^ 2 + yx + x ^ 2

并且从x到z的线的斜率是

（z ^ 3 - x ^ 3）/（z - x）= z ^ 2 + zx + x ^ 2 =（ - （x + y））^ 2 - （x + y）x + x ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 - x ^ 2 - xy + x ^ 2 = y ^ 2 + yx + x ^ 2

相反，如果从x到y的斜率等于从x到z的斜率，那么

y ^ 2 + yx + x ^ 2 = z ^ 2 + zx + x ^ 2，

暗示

（y-z）（x + y + z）= 0，

所以要么y = z或z = -x-y就足以证明减少是有效的。

如果X中有重复项，则首先检查x + 2y = 0是否为任何x和重复元素y（使用散列的线性时间或使用排序的O（n lg n）时间），然后删除重复项减少到共线寻点问题。

Answer 2

如果将问题限制为通过原点的线，则可以将点转换为极坐标（角度，距原点的距离）并按角度进行排序。具有相同角度的所有点位于同一直线上。 O（n logn）

在一般情况下，我认为没有更快的解决方案。

Answer 3

Hough Transform可以为您提供近似解决方案。它是近似的，因为分箱技术在参数空间中具有有限的分辨率，因此最大分档将为您提供一些有限的可能线路范围。

Answer 4

使用 p=(a,b) p*:y=a*x + b 的点线对偶变换移动到对偶平面。现在使用线扫描算法在 NlogN 时间内找到所有交点。（如果您有一个位于另一个上方的点，只需将这些点旋转到某个小角度即可）。双平面中的交点对应于引物平面中的线。

Answer 5

谁说因为 3SUM 减少了这个问题，因此复杂度是 O(n^2)。请注意，3SUM 的复杂度低于此。请检查 https://en.wikipedia.org/wiki/3SUM 并阅读 https://tmc.web.engr.illinois.edu/reduce3sum_sosa.pdf

Answer 6

再次使用伪代码的O（n ^ 2）解决方案。 Idea是以行本身为键创建哈希表。线由两点之间的斜率定义，线切割x轴的点和线切割y轴的点。

解决方案假定Java，C＃等语言将equals方法和对象的hashcode方法用于散列函数。

创建一个包含3个字段的对象（调用SlopeObject）

斜率//可以是无限
x轴的截距点 - poix //将是（无穷大，某些y值）或（x值，0）
计数

poix将是一个点（x，y）对。如果线穿过x轴，poix将（某个数字，0）。如果线与x轴平行，则poix =（无穷大，某个数字），其中y值是线与y轴交叉的位置。如果Slope和poix相等，则覆盖等于2个对象相等的方法。

Hashcode被一个函数覆盖，该函数根据Slope和poix的值的组合提供哈希码。

Hashmap map;
foreach(point in the array a) {
    foeach(every other point b) {
        slope = calculateSlope(a, b);
        poix = calculateXInterception(a, b);
        SlopeObject so = new SlopeObject(slope, poix, 1); // Slope, poix and intial count 1.
        SlopeObject inMapSlopeObj = map.get(so);
        if(inMapSlopeObj == null) {
            inMapSlopeObj.put(so);
        } else {
            inMapSlopeObj.setCount(inMapSlopeObj.getCount() + 1);
        }
    }
}
SlopeObject maxCounted = getObjectWithMaxCount(map);
print("line is through " + maxCounted.poix + " with slope " + maxCounted.slope);

Answer 7

如前所述，可能没有比O（n ^ 2）更好地解决这个问题的一般情况的方法。但是，如果假设大量的点位于同一条线上（比如点集中的随机点位于具有最大点数的线上的概率为p）并且不需要精确的点算法，随机算法更有效。

maxPoints = 0
Repeat for k iterations:
    1. Pick 2 random, distinct points uniformly at random
    2. maxPoints = max(maxPoints, number of points that lies on the 
       line defined by the 2 points chosen in step 1)

请注意，在第一步中，如果您选择了具有最大点数的线上的2个点，您将获得最佳解决方案。假设n非常大（即我们可以将找到2个理想点的概率视为替换的采样），这种情况发生的概率是p ^ 2。因此，在k次迭代之后找到次优解的概率是（1-p ^ 2）^ k。

假设您可以容忍错误的负利率=错误。然后该算法在O（nk）= O（n * log（err）/ log（1-p ^ 2））中运行。如果n和p都足够大，则这比O（n ^ 2）明显更有效。（即假设n = 1,000,000并且你知道至少有10,000个点位于同一条线上。然后n ^ 2将需要10 ^ 12次操作的幅度，而随机算法需要10 ^ 9次操作的幅度获得小于5 * 10 ^ -5的错误率。）

Answer 8

$ o（n ^ 2）$算法不太可能存在，因为问题（甚至检查R ^ 2中的3个点是否共线）是3Sum-hard（http://en.wikipedia.org/wiki/3SUM）

Answer 9

这不是比O（n ^ 2）更好的解决方案，但您可以执行以下操作，

对于每个点转换，首先将其转换为在（0,0）坐标中的位置，然后通过移动它们移动原始选择所需的相同x，y距离对所有其他点执行等效转换点。

2.将这组新的平移点转换为相对于新（0,0）的角度。

3.Keep存储每个角度的点的最大数量（MSN）。

4.选择最大存储号码（MSN），这将是解决方案

找到贯穿大多数点的直线的最有效算法是什么？

9 个答案: