我在实习的采访中遇到了以下问题，我仍然想知道最佳解决方案是什么。
问题：
假设你正在玩猜谜游戏。你可以猜出一个介于1和n之间的数字，你有一个api告诉你你是高还是低。
现在假设每个猜测都是加权的（即你猜20，所以成本是20）
创建算法以找到最小化成本的最佳猜测。
我在想什么：
在问题的正常版本（没有权重）中，解决方案是简单的二元搜索。
然而，在这种情况下，我认为我需要对所有可能的猜测序列进行平均案例分析，这会破坏解决方案的复杂性。例如，我开始猜测20，所以如果数字是20，我就包括成本，然后通过在较小的空间上执行类似的操作来找到下一个最佳猜测（假设我不能再猜测20）。我为所有的第一次猜测执行此操作，然后采取最低限度。
任何帮助都将不胜感激。
答案 0 :(得分：2)
我认为这是一个动态编程问题，你最终会计算出所有区间[i，j]的最佳成本成本，其中1＆lt; = i＆lt; = j＆lt; = 20。
对于i = j，猜测{i}的成本是i。
为了找到猜测区间[i，j]的最佳成本，考虑所有可能的猜测k，其中i <= k <= j。使用猜测k的总成本是[i，k-1] + q * [k + 1，j]的最佳成本的k + p *最佳成本。 （当i> j时，[i，j]得0分）。假设您要求平均成本，则p将为（k-i）/（j + 1-i），q将为（j-k）/（j + 1-i），这些应该是目标的概率在[i，k - 1]和[k + 1，j]中。
您可以从尺寸为1的所有间隔开始获得最佳成本。从这些开始，您可以计算所有2号间隔的最佳成本，并且您可以从那里继续计算所有20个间隔的最佳成本。然后，您通常会回溯以找出每个阶段的所有最佳决策，可能使用您在计算成本时存储的信息。但在你的情况下，你只需要知道最好的第一个猜测，所以你可以在计算时存储它。
对于N = 20，你需要O（N ^ 2）个最佳成本，每个成本不超过O（N），所以我们有一个O（N ^ 3）算法。不是很好，但没有像指数一样，N = 20完全可以承受。
答案 1 :(得分：2)
编辑：我写到最后一部分，但后来意识到我无法证明这一点，所以我把它作为一个社区维基，以便有正确知识的人可以解决它。 < / p>
这是我的解决方案;忍受我，会有一些数学。我假设您希望最小化预期成本，即算法将为答案n的每个可能值（0 首先，你的答案是什么？它是大于还是小于N / 2？ （你：＆＃34;较小＆＃34;）
在未加权的问题中，如果你选择小于N / 2的东西，你就会更有可能被告知答案更高，你也会承担更多的费用。不好。
（你：＆＃34;那么它应该更大？＆＃34;）
如果它不小，那就必须如此。 （除非我问一个技巧问题而答案实际上是N / 2.但我没有。）但是有多大？再考虑未加权的问题。我们在中间选择了数字，即N / 2。我们可以选择中间的东西吗？最明显的一个是数字K，使得1 + 2 + 3 + 4 + ... + K =（K + 1）+（K + 2）+（K + 3）+（K + 4）+。 .. + N。 （这是K = N / sqrt（2）。）事实证明这是正确答案。
（你：＆＃34;为什么？你怎么能指望我这样相信你？＆＃34;）
这就是原因：
让我们先考虑未加权的问题。为什么我们先选择N / 2？当然，你并不只是相信我的waffly论点吗？如果我们选择K＆lt;而不是N / 2？
（你：＆＃34; K小于（N - K），所以它不会是最佳的。＆＃34;）
那么，为什么它会以这种方式获得最佳效果呢？如果我不知道二进制搜索首先起作用，那么这不是一个争论。 （或者，如果我不同意那些教我二进制搜索的人。）请考虑以下事项：
设A（x）是从包含x个元素的范围中猜测数字所需的平均成本，并且让S（x）为总成本，即S（x）= xA（x）。
假设我们选择了中间元素N / 2。总成本S（N）= S（N / 2）+ S（N - N / 2）+ N = 2S（N / 2）+ N. （术语N是选择中间的总成本element - 答案的每个可能值的成本为1）
如果我们选择较少的东西，K＆lt; N / 2？总成本S（N）= S（K）+ S（N-K）+ N.
为了表明选择中间元素并不比选择更少的元素更糟糕，我们需要证明2S（N / 2）+N≤S（K）+ S（N - K）+ N，即2S（N） / 2）≤S（K）+ S（N-K）。
考虑函数A（x）。这是一个增加的功能，因为当有更大的范围可供选择时，不可能花更少的钱。 （我可以争辩说，如果我可以花费更少的范围而不是当前的范围，我会简单地将当前的范围扩展到更大范围的大小。）*（注意：我没有声称该函数是严格增加，因为在我的证明中没有必要。）*
这意味着S（x）是identity function与函数递增的乘法，是convex function。 （此陈述的证明留给读者练习。）
因此，2S（N / 2）≤S（K）+ S（N-K）是Jensen's inequality的结果。 （Jensen不等式的特殊情况如下：对于任何凸函数f，2f（x）≤f（x + k）+ f（x - k）。）
如果您选择K＆gt; N / 2，论证是相似的。
现在让我们继续你的问题。如果加权会怎么样？我们可以遵循类似的策略。
我们将重新定义S和A以采用两个参数，即范围的开始和结束（分别），因为相同大小的两个不同范围可能具有不同的平均成本和总成本。
如果我们选择我声称最好的元素N / sqrt（2），则总成本为S（1，N）= S（1，N / sqrt（2））+ S（N / sqrt（ 2）+ 1，N）+ N * N / sqrt（2）。
选择K＆lt; N / SQRT（2）？总成本为S（1，N）= S（1，K）+ S（K + 1，N）+ N * K.
我们需要证明S（1，N / sqrt（2））+ S（N / sqrt（2）+ 1，N）+ N * N / sqrt（2）≤S（1，K） + S（K + 1，N）+ N * K。
A（x，y）是凸函数，因为B（x，y）= A（x，y）/ avg（x，y）是增加函数，其中avg是某种平均函数。
对此的证明可能需要2D凸函数，其中f（x，y + p） - f（x，y）＆lt; = f（x + q，y + p） - f（x + q，y ）。