Question

f（n）= f（n-1）+ f（n-2）+ f（n-1）* f（n-2）;

1＆lt; = n＆lt; = 10 ^ 9。初始条款 - ＆gt; 1＆lt; = f（0），f（1）＆lt; = 10 ^ 9。

输出答案模10 ^ 9 + 7。

我发现的一般术语是， f（n）=（（（1 + f（1））^ T（n））*（（1 + f（0））^ T（n-1））） - 1; 这里T（n）是第n个斐波纳契数。

我使用矩阵求幂和模块化功率来解决问题，但它给出了TLE。

Answer 1

只要您还没有提供代码示例，我就会给您一个大致的想法。

就我个人而言，我不会使用递归，因为n可能很大，从而导致填充堆栈的低效和长计算并导致溢出。因此，使用数组更好地补充循环。

下一个提示是保持数字相对较小，每步计算模数。 (a+b+ab)%m等于(a%m + b%m + (a%m)*(b%m))%m（请参阅wiki），以便我们将数字保持在范围0..10^9

以下是解决方案的示例：

const unsigned int mod = 1e9+7;
std::vector<unsigned int> vec(n+1);    // prepare vector of needed size
                                       // size is n+1 because we start from 0 and you need vec[n]
vec[0] = 1;                            
vec[1] = 1e9;

unsigned long long int r1, r2;         // long long will prevent r1*r2 from overflowing
for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
{
    r1 = vec[i-1] % mod;
    r2 = vec[i-2] % mod;
    vec[i] = (r1 + r2 + r1*r2) % mod;
}

std::cout << vec[n];

您使用[c ++]和[java]标记了您的问题。上面的代码在[c ++]中，我希望你能够在需要的时候移植它

Answer 2

k = 1000000007是素数。因此a^b mod k相当于a^(b mod (k-1))。

mod k，f（0）+1为2，f（1）+1为-6。

通过重复平方并选择正方形来相乘，可以有效地提升能力。

计算第n个Fibbonacci mod 1000000006很棘手（对于大n）。我不知道一个简单的封闭形式。

啊哈！ Pisano时期是Fibbonnacci数字修改某些值重复的时期。 k被分解为素数2 * 500,000,003

简单地计算Pisano period的2和500000003.采用这两个素数的pisano时期的LCM来获得他们产品的pisano时期。我们可以使用它来减少n的模数值，然后再将其输入Fibbonnacci。

这给了我们一个有界的Fibbonnacci计算（希望是可以破坏的），让我们得到Fibbonnacci结果mod 1000000006，然后我们可以使用平方技术（mod 1000000007）将2和-6提升到那个幂，将它们加在一起减去1。

祝你好运计算皮萨诺时期。如果它是合理的（并且看起来很多），你应该能够获得十亿分之一的数字并在几分之一秒内解决。

现在，Pisano时期和Fibbonnacci的封闭形式是基于一些数论和数学。因此，我们可以尝试直接为此重复关系生成类似的数论/等结果，而不是通过您找到的身份。可以说，这会更难，但可能会得到一个更清晰的答案。

找到递归关系的第n项，给出前两个项，f（0）和f（1）

2 个答案: