多项式回归的置信区间

Question

我和R和统计数据有点问题。

我使用最大似然法拟合了一个模型，他给出了以下系数及其各自的标准误差（以及其他参数估计值）：

    ParamIndex   Estimate     SE        
1         a0  0.2135187 0.02990105  
2         a1  1.1343072 0.26123775  
3         a2 -1.0000000 0.25552696  

从我可以画出的曲线：

 y= 0.2135187 + 1.1343072 * x - 1 * I(x^2)

但是从那开始，我现在要计算这条曲线周围的置信区间，我不清楚如何做到这一点。

显然，我应该使用传播或误差/不确定性，但我发现的方法需要原始数据，或者不仅仅是多项式公式。

当使用R？

知道估计值的SE时，是否有任何方法可以计算我的曲线的CI

感谢您的帮助。

修改

所以，现在，我使用函数vcov获得协方差表（v）：

                 a0           a1           a2
    a0  0.000894073 -0.003622614  0.002874075
    a1 -0.003622614  0.068245163 -0.065114661
    a2  0.002874075 -0.065114661  0.065294027

和n = 279。

Answer 1

您现在没有足够的信息。要计算拟合曲线的置信区间，需要三个系数的完全方差 - 协方差矩阵 ，但是现在你只有该矩阵的对角线条目。

如果已经拟合了正交多项式，则方差 - 协方差矩阵是对角线的，具有相同的对角线元素。这肯定不是你的情况，因为：

• 您显示的标准错误彼此不同;
• 您已明确使用原始多项式表示法：x + I(x ^ 2)

  

但我找到的方法需要原始数据

它不是＆＃34;原始数据＆＃34;用于拟合模型。这是＆＃34;新数据＆＃34;你想在哪里产生信心带。但是，您需要知道用于拟合模型的数据的数量，例如n，因为这是获得剩余自由度所必需的。在你有三个系数的情况下，这个自由度是n - 3。

一旦你有了：

• 完整的方差 - 协方差矩阵，让我们说V;
• n，用于模型拟合的数据数量;
• 点x的向量，给出了产生置信带的位置，

您可以先从以下方面获得预测标准错误：

X <- cbind(1, x, x ^ 2)    ## prediction matrix
e <- sqrt( rowSums(X * (X %*% V)) )    ## prediction standard error

你知道如何根据拟合的多项式公式获得预测均值吗？假设均值为mu，现在为95％-CI，请使用

## residual degree of freedom: n - 3
mu + e * qt(0.025, n - 3)  ## lower bound
mu - e * qt(0.025, n - 3)  ## upper bound

完整的理论是How does predict.lm() compute confidence interval and prediction interval?

<强>更新

根据您提供的协方差矩阵，现在可以生成一些结果和数字。

V <- structure(c(0.000894073, -0.003622614, 0.002874075, -0.003622614, 
0.068245163, -0.065114661, 0.002874075, -0.065114661, 0.065294027
), .Dim = c(3L, 3L), .Dimnames = list(c("a0", "a1", "a2"), c("a0", 
"a1", "a2")))

假设我们想要在x = seq(-5, 5, by = 0.2)生成CI：

beta <- c(0.2135187, 1.1343072, -1.0000000)
x <- seq(-5, 5, by = 0.2)
X <- cbind(1, x, x ^ 2)
mu <- X %*% beta
e <- sqrt( rowSums(X * (X %*% V)) )
n <- 279
lo <- mu + e * qt(0.025, n - 3)
up <- mu - e * qt(0.025, n - 3)
matplot(x, cbind(mu, lo, up), type = "l", col = 1, lty = c(1,2,2))