比较Java中的小双值

Question

为什么这个断言在Java中失败：

    double eps = 0.00000000000001;
    double ten = 10.0;
    double result = (ten - (ten - eps));
    Assert.assertTrue(result <= eps);

如果我在eps中的数字1之前删除一个零，则断言通过。我假设这与浮点实现有关，但我不确定如何。

此外，如果我将数字1替换为2（如0.00000000000002），则断言也会通过。在这种情况下，我甚至可以在数字2之前添加更多的零，测试仍然会通过。我尝试了Double.MIN_VALUE（4.9E-324），断言也通过了。

请有人详细解释一下：

1. 为什么断言通过eps = 1.0E-13而不是eps = 1.0E-14
2. 为什么断言通过eps = Double.MIN_VALUE（4.9E-324）而不是eps = 1.0E-14

编辑：当我将eps增加到1.0E-8时，断言也失败了：double eps = 0.00000001;

Answer 1

这是因为组织了代表double类型的字节。

如下图所示，它是64位结构。位[b0 .. b51]是连接的＆＃39;并且由指数提升，[b52 .. b62]。

确定每个比特组合在实际值中代表什么的等式是：

使用此公式，您可以使用

表示最小值

3ff0 0000 0000 000116   =>  1.0000000000000002

有关更好的说明，请参阅此Wiki页面Double-precision floating-point format

Answer 2

在最后一个断言中，你比较结果（1.0658141036401503E-14）和eps（1.0E-14），从主观上说，如断言所认为的那样是错误的，这种情况下的结果大于eps。如果从eps rps中删除一个0，则在这种情况下变为大于1.0658141036401503E-14的1.0E-13

Answer 3

问题是断言代码在某种意义上是错误的，它没有考虑第二个减法ten - (ten - eps)。

让我们一步一步解释。设eps = 0.00000001（1.0E-8）。在这种情况下，10.0 - eps为9.99999999。到现在为止还挺好。但是，10.0 - 9.99999999是0.00000001000000082740371，它大约是0.00000001的预期结果，但只是略大一点，因为浮点运算（通常）给出了足够好的近似值。因此，对于某些eps值，最终结果非常接近，但恰好低于实际结果，对于某些值，它又非常接近，但仅高于实际结果。

需要修复代码，以便考虑到第二个减法的结果也只是一个近似值。

一种方法是将断言更改为：

Assert.assertTrue(Math.abs(result - eps) <= eps);

为了更多地了解浮点算术，我发现这篇文章写得很好：http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html

这句话总结了浮点算术错误发生的原因：

  

有两个原因导致实数可能不完全正确   可表示为浮点数。最常见的情况是   以十进制数0.1表示。虽然它有限   十进制表示，二进制表示无限重复   表示。因此，当β= 2时，数字0.1严格地位于   两个浮点数，并且两者都不能完全表示   它们。

Answer 4

请尝试以下代码：

BigDecimal eps1 = new BigDecimal(eps);
BigDecimal ten1 = new BigDecimal(ten);
BigDecimal result1 = ten1.subtract( ten1.subtract(eps1) );

无论eps

都应该稳定