我似乎无法弄清楚如何将Vandermonde矩阵实现为多变量插值。我能够得到实际的矩阵,但我不明白如何得到值(数组)c00,c01,c02 ....我知道c = V / z,但我觉得我错过了一些东西(也许,不是分裂?)。我也知道我需要以某种方式建立一个方程组(V列是每个cij)。
你如何在python中做到这一点?
这是我到目前为止所做的:
import numpy as np
x = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3]
y = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
z = [3.2, 4.4, 6.5, 2.5, 4.7, 5.8, 5.1, 3.6, 2.9]
numpy.polynomial.polynomial.polyvander2d(x, y, [2,2])
>>>array([[ 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.],
[ 1., 2., 4., 1., 2., 4., 1., 2., 4.],
[ 1., 3., 9., 1., 3., 9., 1., 3., 9.],
[ 1., 1., 1., 2., 2., 2., 4., 4., 4.],
[ 1., 2., 4., 2., 4., 8., 4., 8., 16.],
[ 1., 3., 9., 2., 6., 18., 4., 12., 36.],
[ 1., 1., 1., 3., 3., 3., 9., 9., 9.],
[ 1., 2., 4., 3., 6., 12., 9., 18., 36.],
[ 1., 3., 9., 3., 9., 27., 9., 27., 81.]])
np.dot(V, c.flat)
和numpy.polynomial.polynomial.polyval2d(x, y, c)
我认为必须以某种方式融入其中,但我不知道该怎么做。请帮忙!
我应该输出:
c = V \ z
c =
0.97500
-5.27500
5.95000
-3.92500
19.82500
-21.55000
3.40000
-14.70000
18.50000
这是我得到这个例子的网站(他们使用了MatLab): https://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/05Interpolation/multi/ 希望这有帮助!
答案 0 :(得分:0)
Given positions x and y:
x = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3]
y = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
and function values z:
z = [3.2, 4.4, 6.5, 2.5, 4.7, 5.8, 5.1, 3.6, 2.9]
V will be the Vandermonde matrix:
V = numpy.polynomial.polynomial.polyvander2d(x, y, [2,2])
V = array([[ 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.],
[ 1., 2., 4., 1., 2., 4., 1., 2., 4.],
[ 1., 3., 9., 1., 3., 9., 1., 3., 9.],
[ 1., 1., 1., 2., 2., 2., 4., 4., 4.],
[ 1., 2., 4., 2., 4., 8., 4., 8., 16.],
[ 1., 3., 9., 2., 6., 18., 4., 12., 36.],
[ 1., 1., 1., 3., 3., 3., 9., 9., 9.],
[ 1., 2., 4., 3., 6., 12., 9., 18., 36.],
[ 1., 3., 9., 3., 9., 27., 9., 27., 81.]])
Each row:
a = x[i]
b = y[i]
V[i,:] = [ 1, b, b², a, a*b, a*b², a², a²b, a²b²]
A linear interpolation aims to solve:
$$z = V \cdot c$$
therefore we need to solve:
$$c = V^{-1} z$$
c = np.linalg.solve(V, z)
c now holds the coefficients in the same orders as the Vandermonde matrix does.
You can evaluate it manually:
def poly_eval(x, y, z):
return z[0] + z[1]*y + z[2]*np.power(y,2) + z[3]*x + z[4]*x*y + z[5]*x*np.power(y,2) + z[6]*np.power(x,2) + z[7]*np.power(x,2)*y + z[8]*np.power(x,2)*np.power(y,2)
or use
np.polynomial.polynomial.polyval2d([1,2], [3,4], c)
Out[22]: array([-65.5, -88.4])