RSA和素发生器算法

Question

好吧，我对RSA数学运算的理解可能不会那么深，所以如果这是愚蠢的话，请随意拍我的头：

要生成私钥，我们需要两个随机的大素数。没有算法可以精确有效地做到这一点，但是有些算法可以生成大数字，这些数字具有99.99999 ...（数十亿9s）... 999％的概率被归正。

我的问题是：如果通过一个非常糟糕的运气，当你生成密钥时，素数生成算法会产生一个非素数？这对使用这个不吉利的密钥的软件有何影响？

编辑：我知道其他因素在这个问题上可能导致不良后果;这只是纯粹的书呆子数学好奇心。

Answer 1

<强> 1。关于概率素性测试

计算机是一个可靠的确定性系统：对于相同的输入，它将对相同的输出运行相同的算法。它会一直这样吗？ 概。有一种高能粒子在宇宙中漫游，通常被称为宇宙射线。当这样的粒子撞到隐藏在CPU深处的晶体管时，它可能使其打嗝 - 基本上以非常短暂的方式改变其输出电压，使得在一个时钟周期中，晶体管输出所代表的位被翻转。 / p>

现在考虑一些计算机运行一个素数生成器算法，它创建随机数并测试它们的素数。素数测试是一个返回布尔值的函数。在某些时候，结果（布尔值为{prime}的true，非素数的false是复制到寄存器中的常量值。因此，有一个几个时钟周期的窗口，在此期间，结果是一个位，包含在一个触发器结构（包含6个晶体管）中。

那么宇宙射线在“正确”的时钟周期翻转该关键位的概率是多少，这使得程序认为非素数实际上是素数？这个概率非常低。正如我所说，计算机是可靠的系统。然而，可以粗略估计该概率。通常认为给定的CPU每三个月经历一次宇宙射线位翻转。 Core2 Duo处理器包含大约291百万个晶体管，并以（例如）2.4 GHz运行。如果存在单个“关键”晶体管，并且该晶体管对于单个时钟周期至关重要，则宇宙射线将非素数转换为表观素数的概率约为1.8 * 10 ^-24 。这是一个非常乐观的下界;在实践中，许多转换器可以被翻转并暗示素性测试失败，并且目标定时覆盖几个周期，并且素发生器将检查每个素数生成的几十个非素数。但我们认为我们很幸运。

1.8 * 10 ^-24 概率影响每个素性测试，无论它是否是确定性的。

通常的素数发生器将运行Miller-Rabin测试，其“确定性”为2 ^-100 （测试执行50次，并且错过概率不超过0.25每次非素数）。 “100”是任意的但很常见。该概率略小于10 ^-30 。所以你有它：米勒 - 拉宾测试宣布素数为非素数的概率小于宇宙射线撞击晶体管的概率的<百万分之一部分并使应用程序假定为数字是素数，而米勒 - 拉宾测试表明它不是。

简而言之，如果你从质数生成器中得到一个非素数，那么这是由于硬件问题，如宇宙射线，不对于素数的概率性质测试

由于宇宙射线导致的质量不好实际上是一个非常好运的中风。小行星穿过太空最终落在你房子上的可能性是在你生成钥匙的第一秒内焚烧你的可能性要高得多。我不了解你，但我个人更喜欢使用糟糕的RSA钥匙，而不是被摔倒的岩石压碎。

<强> 2。一个坏密钥

如果在RSA密钥中使用非素数，则会得到错误的密钥。坏密钥将生成错误签名：签名生成器将生成正确长度的字节流，但签名验证程序将声明签名无效。注意：实际上，签名可能有效，概率很小。在RSA中使用“primes” p 和 q 类似于概率素性测试，就像Miller-Rabin测试一样。然而，很可能很快就会发现钥匙行为不端。对于非对称加密，将会观察到类似的行为。

应该注意的是，由于另一个宇宙射线，甚至更糟糕的坏RAM发生，也会产生错误的签名或者无法解密RSA加密的消息。

最重要的是，如果你担心有一个糟糕的RSA密钥，而不是关于更可能的硬件故障事件（由于宇宙射线这是不可避免的，但幸好不是很常见），那么你得到的是优先事项错了。

Answer 2

你会立即注意到：秘密密钥是错误的。

如果p或q是复合的，则选择公钥（通常为65537）使用扩展的欧几里德算法计算您的密钥：65537 * x mod n = 1.（其中n =（p-1）*（q-1） ））

但是使用x密钥解密（encrypt（m））！= m 在公式中：（m ^ 65537）^ x mod n！= m

Answer 3

我了解到你可以使用rsa：

p = prime
q = prime
n = p * q

phi(n) = phi(p) * phi(q) = p-1 * q-1

但是我听说如果你做一个非素数的phi它不是素数-1所以它会在上面的步骤崩溃 （但我不能说为什么）

Answer 4

如果你有真正的素数，那么就没有捷径而是蛮力。如果你不是100％肯定，攻击者也不会。此外，您可以对素数测试算法充满信心，非整数nunber的风险小于整个密钥空间的1。基本上你可以从统计上确定你的号码是素数。换句话说，猜测它不是素数的几率应该高于猜测正确的键。它只需要在密钥生成时需要一些耐心。

Answer 5

有一种简单的算法来计算大型复合材料 - （一直被怀疑）。自1989年以来，美国和盟国都知道这一点。 它还可以轻松识别质数。

RSA也是知情人。