用给定角度计算贝塞尔曲线控制点

Question

假设我们有一个贝塞尔曲线，其起点p0为（0,0），结束点p4为（100,0）。现在它基本上是一条没有曲线的线。现在让我们假设我想根据给定的角度计算两个缺失的控制点（p1 p2）。实现这一目标的最佳方法是什么？

让我们假设我想要这样的东西：

https://1.bp.blogspot.com/_W3ZUYKgeEpk/SDcAerq1xkI/AAAAAAAAAAc/W9OnovkzgPI/s400/RectanglularControlPoly.jpg

我的意思是取决于控制点的位置，它形成某种三角形，这就是为什么我想知道它是否可能。

Answer 1

控制通过具有给定角度的贝塞尔点的点，位于该角度的切线上。

由于选择的控制点越远，产生的弯曲越柔软，因此有许多不同的解决方案具有相同的角度和不同的曲率。

要找到两个Bezier点具有相同柔和曲率的控制点，只需找到两条切线的交叉点即可！使用交叉作为两个段的公共控制点，即C1 = C2。

对于任何类型的对称曲线，您需要保持与交叉点的偏差对称，即50％，10％等。

注意，为了优化整体形状，还需要查看相邻点;一般来说，提供的GDI功能做得很好;所以值得考虑简单地添加更多Bezier点来控制形状;但当然使用完善的控制点是最经济的解决方案。

更新：我添加了一个例子，说明圆圈（橙色）与this interesting post中的数学近似有多好。

短版本：确切的解决方案实际上是不可能的，但最适合四分之一圆的是将控制点移动到交叉点的~0.55％。 （ d=r*4*(sqrt(2)-1)/3 的）。有时代替使用4段解决方案，使用8段解决方案进行更接近的近似。

private void button_Click(object sender, EventArgs e)
{
    int w = Math.Abs(P2.Left - P1.Left);
    int h = Math.Abs(P2.Top - P1.Top);
    C2.Left =  (int) (P2.Left + w * 0.5523f);
    C2.Top = P2.Top;
    C1.Left = P1.Left;
    C1.Top = (int) (P1.Top + h * 0.5523f);
    C1.Parent.Invalidate();
}

代码使用Labels作为点和控制点..

顺便说一下：将椭圆/圆圈添加到GraphicsPath将创建贝塞尔曲线，这些曲线似乎就像那样近似。