Question

我正在尝试理解Eratosthenes算法时间复杂度的筛选。在网上，它说时间复杂度是O（nloglog（n）），但我不明白为什么。

这是一些伪代码

factors =  new int[n+1];
for i from 2 to n
    factors[i] = 1; //true

for i from 2 to sqrt(n)
    if(factors[i] == 1) //isPrime
    {
        for all multiples of i upto n
            factors[multiple] = 0 //notPrime
    } 

return all indices of factors that have a value of 1

我认为我们都同意这个函数的时间复杂度取决于嵌套的for循环。现在进行分析。当i = 2时，内环运行n / 2次。当i = 3时，内环运行n / 3次。下一次内循环执行时是下一个素数，因此n / 5次。循环将一直运行

n / 2 + n / 3 + n / 5 + n / 7 + ...次

这是

n（1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...）

素数的倒数之和直到n是O（log（log（n）））的元素。因此，总体复杂度为O（nlog（log（n）））

但是，正如我们的伪代码所写，外部for循环只运行root（n）次。因此，我们只将素数的倒数加到sqrt（n）。所以复杂性应该是O（nlog（log（sqrt（n））））而不是上面所说的。

我的分析有什么问题？

Answer 1

O（nlog（log（sqrt（n））））是 O（nlog（log（n））），因为log（sqrt（n））= log（n）/ 2

为什么Eratosthenes算法筛选的时间复杂度没有参数sqrt（n）？

1 个答案: