二进制字符串中的反转

Question

长度为n的二进制字符串中有多少个反转？

For example , n = 3
000->0
001->0
010->1
011->0
100->2
101->1
110->2
111->0
So total inversions are 6

Answer 1

问题看起来像是一个家庭作业，这就是为什么让我省略细节。你可以：

1. 将问题解决为重复性问题（参见Толя的答案）
2. 弥补并解决特征方程，得到具有一些任意常数的闭合公式的解（c1，c2，...，{{1} }）;事实上，你只需要一个未知的常数。
3. 将一些已知的解决方案（例如cn，f(1) = 0）放入公式中，找出所有未知系数

你应该得到的最终答案是

f(3) = 6

其中 f(n) = n*(n-1)*2**(n-3) 表示上升为权力（** 2**(n-3)权力2。如果您不想处理重复性等问题，您可以通过 induction 来证明公式。

Answer 2

很容易反复出现的功能。 假设我们知道n-1的答案。 在ato之前的所有序列之后，我们将0或1添加为第一个字符。

如果我们将0添加为第一个字符，表示不会改变反转计数：因此答案将与n-1相同。

如果我们添加1作为第一个字符，表示反转计数将与之前相同，并且将添加额外的反转等于0到所有先前序列的计数。

长度为n-1的序列中的0和0的计数将为：

(n-1)*2^(n-1)

其中一半是零，它会给出以下结果

(n-1)*2^(n-2)

这意味着我们有以下公式：

f(1) = 0
f(n) = 2*f(n-1) + (n-1)*2^(n-2)