计算斐波那契的递归调用次数，用C表示

Question

我遇到了以下问题：

调用fib(8)（下面），进行了多少次递归调用（忽略第一次）？什么是回报值？

int fib (int n) {
    if (n==0 || n==1) return 1;
    else return fib(n-1) + fib(n-2);
}

所以我做了：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int r = 0;

int fib (int n) {
    printf("k: %d fib n: %d", r++, n);
    if (n==0 || n==1) {
        printf("\n");
        return 1;
    } else { 
        printf(" +\n");
        return fib(n-1) + fib(n-2); 
    }
}

int main(int argc, char **argv) {
    int n = atoi(argv[1]);
    int f = fib(n);
    printf("\nreturn: %d\n", f);
    return 1;
}

使用此我将回复fib(8) = 34递归调用的数量为66。

我是对的吗？

Answer 1

  

我是对的吗？

这是查看结果的简便方法：

> ./fib 8 | grep "k:" | wc -l
67

也就是说，我在命令行运行程序并将输出传送到grep以过滤输出。由于每次调用fib()只生成一个包含k:...的输出行，因此这些行的数量应与fib()函数的调用数相同。我进一步将输出从grep传送到wc -l，计算行数，结果为67。

正如@weathervane在评论中指出的那样，将r++更改为++r会增加r，然后在printf()来电中对其进行评估，这样您就可以了获得正确的值显示。或者，您可以查看输出并注意您从0开始计算：

k: 0 fib n: 8 +
k: 1 fib n: 7 +
k: 2 fib n: 6 +
k: 3 fib n: 5 +
...

由于您的点数从零开始，您必须添加一个才能得到总数。

Answer 2

首先，总的fib调用= 67

递归调用是= 66

                   fib(5)   ---root-first call ,not consider recursive call 
                 /           \     
           fib(4)             fib(3)   
         /      \                /     \
     fib(3)      fib(2)       fib(2)    fib(1)
    /     \        /    \       /    \  

- 因为第一次通话不被视为递归通话

现在让我们推导一个计算fib（n）被称为

的次数的公式

设f（n）为计算fib（n）的调用次数。

如果n < 2然后f（n）= 1。

否则，f（n）= 1 + f（n-1）+ f（n-2）

因此，f至少为O（fib（n））。实际上，f（n）是2 * fib（n）-1。

我们通过归纳来证明这一点：

基本情况（n <2，即n = 0或n = 1）：

f（n）= 1 = 2 * 1 - 1 = 2 * fib（n）-1。

诱导步骤（n> = 2）：

f（n + 1）= f（n）+ f（n-1）+ 1

f（n + 1）= 2 * fib（n） - 1 + 2 * fib（n - 1） - 1 + 1

f（n + 1）= 2 * fib（n + 1）-1

实施例

fib（8）= 34

所以递归调用= 2 * 34-1 = 67

ans = 67-1（第一次通话）

FIB（4）= 5

所以递归调用= 2 * 5-1 = 9

ans = 9-1（第一次通话）

还可以以o（logn）

计算fib（n）

所以整体复杂度降低到o（logn）

O（logn）用于查找fib（n）和O（1）以查找递归调用

但您的代码需要指数时间