函数的运行时查找大小为n的列表的第（n / 2 ^ k）个元素？

Question

我只能想象两种情况：当2 ^ k接近n时（例如，如果2 ^ k == n），那么所需的步数是n / n或1，所以它有一个运行时O（1）。

但是，如果2 ^ k很小（例如，如果2 ^ k == 1），则需要n步，因此它的运行时间为O（n）。

实质上，如果2 ^ k可以用n来表示，那么所需的步数是一个整数，所以它的运行时间为O（1）。如果2 ^ k不能用n来编写，则它的运行时间为O（n）。

这两种情况都是最坏的情况;对于任何未知的和可能大的n，这些运行时间仍然存在。是否有任何情况下2 ^ k的限定值不能小于n 或接近n？

想象一下，你要写一个（可能很长）的表，其中包含k值的函数的运行时间，使得（n / 2 ^ k）> = 1.当k从0开始并且增加时，运行时间是O（1），但是当k从较大值开始减小时，运行时间为O（n）。是否存在运行时从O（1）切换到O（n）的理论点？

或者我只是没有理解Big-O分析的“主要思想”？

编辑：假定线性搜索

Answer 1

你错过了关于大O分析的主要想法。总有一种假设（通常没有说明），当你看到无限的东西时，你会看到一个极限。通常，只有一个变量，因此从上下文中可以清楚地看出变量是无穷大的。 （例如，n^2+23n∈O(n^2)（n为无穷大）。）

在您的情况下，您有两个变量，n和k。因此，为了讨论big-O，你需要量化无穷大的东西（看起来是n），以及其他变量在此期间做了什么。这确实导致了两种可能性：如果k不变，n变为无穷大，则答案为O(n);但如果k使n/2^k不变（即k=lg(n)-C），则答案为O(1)。但还有其他可能性：如果n/2^k=√n（即k=lg(n)/2），则答案为O(√n)。

因此，根据k n的增长情况，答案是O(1)和O(n)之间的任何内容。

Answer 2

  

但是，如果2 ^ k很小（例如，如果2 ^ k == 1），则需要n步，因此它的运行时间为O（n）。 （1）

     

实质上，如果2 ^ k可以用n来表示，那么所需的步数是一个整数，所以它的运行时间为O（1）。如果2 ^ k不能用n来编写，则它的运行时间为O（n）。（2）

（1）＆＃39的结论是正确的，但（2）是错误的。

首先，你有2个变量。 n和k。 k: 1 <= 2^k <= n

如果n = 128和k = 4 128/2^4 = 4

步数4而非1。

一般来说，如果n是2说2^x的力量，那么步数f(n) = 2 ^ x / 2 ^ k = 2 ^（xk） `

现在n = 2^x，使用基本对数x = lg(n) {其中lg(y)是y＆＃39;

的基数2的日志

f(n) = 2^{lg(n)-k}（1）

如果n不能被2^{lg(n)-k}整除，则运行时间为2^k，然后您尝试访问不存在的浮点索引处的数字。

假设您希望我将索引舍入为最接近的整数。索引毕竟只是整数。

现在1为您提供简单的运行时公式。但最糟糕的情况是k = 0。 SInce Big-Oh使用最坏的情况，我们继续使用它。

f(n) = O(2^{lg(n)-0}) f(n) = O(2^{lg(n)}

这是lg(n)的反日志，它再次从基本的对数知识中为我们提供n。

因此f(n) = O(n)

Q.E.D