Question

我试图了解Java的BigInteger类的modPow和modInverse的行为，因为它们没有像我期望的那样工作。也许我错过了一些简单的东西，所以这里有一段非常简单的代码：

BigInteger a = BigInteger.valueOf(2);
BigInteger b = BigInteger.valueOf(5);

BigInteger n1 = new BigInteger(32, 100, new SecureRandom());
System.out.println("n = " + n1);

System.out.println("a^b = " + a.modPow(b, n1) + " ;; (a^b)^(b^-1) = " + a.modPow(b, n1).modPow(b.modInverse(n1), n1));

我得到的输出是：

n = 2664021049    (This is a random prime, can change each run)
a^b = 32 ;; (a^b)^(b^-1) = 4

现在，我希望最后一行中的4为2，因为它是(a^b)^(1/b) = a^(b*(1/b)) = a

这是否也适用于模数字段？

我做错了什么？

Answer 1

我猜混淆来自那个

因为（5 * 532804210）mod 2664021049 == 1

之后：

b.modInverse(n1) == 532804210

=＆GT; 32 ^ b.modInverse（n1）mod 2664021049

=＆GT; 32 ^ 532804210 mod 2664021049 == 4

Answer 2

简短回答：反转b mod p-1，而不是mod p。（如果b不可翻转mod p-1，则问题无法解决。）

虽然如果是x ≡ y (mod p)，然后是x^z ≡ y^z (mod p)，我们无法得出z^x ≡ z^y (mod p)。例如，通过费马的小定理，

x^p ≡ x (mod p)

即使p ≡ 0 (mod p)和x^0 = 1。

然而，费马的小定理给了我们一个解决方案。对于整数x和y以及素数p，如果我们可以找到z mod y的乘法逆p-1 ，然后

(x^y)^z = x^(yz)
        = x^(k(p-1) + 1) for some k
        = (x^(p-1))^k * x

如果x ≡ 0 (mod p)，则为(x^(p-1))^k * x ≡ x (mod p)，因为双方都与0一致。

如果x !≡ 0 (mod p)，我们可以从x^(p-1) ≡ 1 (mod p)派生x^p ≡ x (mod p)，我们有(x^(p-1))^k * x ≡ 1^k * x ≡ x (mod p)。

因此，(x^y)^z ≡ x (mod p)。

另一方面，如果y不是可逆的mod p-1，那么事实证明我们无法从x恢复x^y，因为有多种可能x值。例如，对于x = 2, y = 3, p = 7，我们有x^y ≡ 1 (mod p)，但x可能是1。

Answer 3

请参阅此内容以了解BigInteger类的modPow（）和modInverse（）的行为。

modPow：

BigInteger numOne = new BigInteger("5");
BigInteger numTwo = new BigInteger("20");
BigInteger exponent = new BigInteger("3");
BigInteger MP = numOne.modPow(exponent, numTwo);
System.out.println(numOne + " ^ " + exponent + " mod " + numTwo + " = " + MP);

modInverse：

BigInteger numOne = new BigInteger("7");
BigInteger numTwo = new BigInteger("20");
BigInteger MI = numOne.modInverse(numTwo);
System.out.println(numOne + " ^-1 mod " + numTwo + " = " + MI);

Java BigInteger modInverse和modPow

3 个答案: