用分数背包方法解决背包

Question

有两个众所周知的背包问题：

1）给定n个项目，每个项目都有weight和cost。我们需要选择适合我们背包的物品，并且总和成本最高。可以使用dynamic programming轻松解决。

2）分数背包：与第一个背包相同，但我们不能只考虑整个项目，而是它的一部分。使用greedy algorithm可以轻松解决此问题。

想象一下，我们正在使用第二个问题的greedy algorithm来解决第一个问题。我怎样才能证明，我们得到的解决方案不会比最优解决方案差两倍？

Answer 1

据我所知，贪婪的解决方案可能与你想要的效率一样低。 想象一下，你有一个容量为1和两个（n = 2）物品的背包：

item weight cost density
------------------------
   A      ε    ε       1  <- greedy choice
   B      1  1-ε     1-ε  <- optimal choice

因此，当最优解为时，贪婪算法会花费A ε成本 以B费用获取1-ε费用。选择的（贪婪的）解决方案是

  (1-ε)/ε = 1/ε - 1 

时效低于最佳效率。尽可能少地ε（例如，ε = 1e-100）并使用非常低效的贪婪解决方案。

修改：如果只是整数值，只需比例上面的示例：你有一个容量为X的背包和两个（{{1} }）项目

n = 2

在这种情况下，贪婪的解决方案是

item weight cost density
------------------------
   A      1    1       1  <- greedy choice
   B      X  X-1   1-1/X  <- optimal choice

时效低于最佳效率。最后，让 (X - 1) / 1 = X - 1 足够大（例如，X）