Question

这是我在某个在线评审平台上所做的一个问题。

找出从1到N的数字因子的最大总和。

例如，如果N为11，则答案为18.从1到11的因子总和最大的数字是10（1 + 2 + 5 + 10）。

我实施了一个看起来像筛子的相对简单的解决方案。 C ++中的代码如下所示：

for (int i = 1; i <= 1000000; ++i {
    for (int j = i; j <= 1000000; j += i) {
        num[j] += i;
    }
    mx[i] = max(num[i], mx[i - 1]);
}

每当用户查询某些N时，我都会输出mx[N]。这个解决方案似乎是正确的。但是，对于较大的输入，它超过了时间限制（1s）。最大N为1,000,000，但用户可以查询1,000,000个不同的N值。上述代码是一个运行一次的预处理代码。

上面代码的复杂性是N + N / 2 + N / 3 + ... + 1，我想这是N Log N.我如何提高这段代码的复杂性？

感谢您的帮助。

Answer 1

这个问题的答案是：Highly Abundant Number
您可以从此处获取序列：A002093

实际上，我检查了10 ^ 10以下的所有高数量是41平滑数，而10 ^ 13以下是61平滑数。 N平滑数可以将素数分解为N以下您可以像这个算法一样搜索n-smooth数字（例如47-平滑数字低于10 ^ 16）：

vector<int> p = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 };
vector<long long> s = { 1 }; long long lim = 10000000000000000;
for (int i = 0; i < p.size(); i++) {
    vector<long long> w;
    for (long long j : s) {
        long long mul = j;
        for (; mul <= lim; mul *= p[i]) w.push_back(mul);
    }
    s = w;
}

您可以在O(log N + log X)中对N平滑数X进行分解，因此您可以为O(log N + log X)计算divisor function。

我给出了我的代码的结果，例如，我计算了所有61平滑数字，低于10 ^ 13，在3.5秒内，使用1GB内存。

给定范围内数字的最大因子总和

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