我实现了两个方程组的Runge-Kutta四阶方法。
h是段数,因此T / h是步骤。
def cauchy(f1, f2, x10, x20, T, h):
x1 = [x10]
x2 = [x20]
for i in range(1, h):
k11 = f1((i-1)*T/h, x1[-1], x2[-1])
k12 = f2((i-1)*T/h, x1[-1], x2[-1])
k21 = f1((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k11, x2[-1] + T/h/2*k12)
k22 = f2((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k11, x2[-1] + T/h/2*k12)
k31 = f1((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k21, x2[-1] + T/h/2*k22)
k32 = f2((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k21, x2[-1] + T/h/2*k22)
k41 = f1((i-1)*T/h + T/h, x1[-1] + T/h*k31, x2[-1] + T/h*k32)
k42 = f2((i-1)*T/h + T/h, x1[-1] + T/h*k31, x2[-1] + T/h*k32)
x1.append(x1[-1] + T/h/6*(k11 + 2*k21 + 2*k31 + k41))
x2.append(x2[-1] + T/h/6*(k12 + 2*k22 + 2*k32 + k42))
return x1, x2
然后我在这个系统上测试它:
def f1(t, x1, x2):
return x2
def f2(t, x1, x2):
return -x1
def true_x1(t):
return np.cos(t) + np.sin(t)
def true_x2(t):
return np.cos(t) - np.sin(t)
它似乎工作正常(我还测试了它具有不同的初始值和不同的功能:一切正常):
x10 = 1
x20 = 1
T = 1
h = 10
x1, x2 = cauchy(f1, f2, x10, x20, T, h)
t = np.linspace(0, T, h)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x1')
plt.plot(t, true_x1(t), "blue", label="true_x1")
plt.plot(t, x1, "red", label="approximation_x1")
plt.legend(bbox_to_anchor=(0.97, 0.27))
plt.show()
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x2')
plt.plot(t, true_x2(t), "blue", label="true_x2")
plt.plot(t, x2, "red", label="approximation_x2")
plt.legend(bbox_to_anchor=(0.97, 0.97))
plt.show()
然后我想检查错误是否在O(step^4)
的顺序,所以我减少步骤并计算错误,如下所示:
step = []
x1_error = []
x2_error = []
for segm in reversed(range(10, 1000)):
x1, x2 = cauchy(f1, f2, x10, x20, T, segm)
t = np.linspace(0, T, segm)
step.append(1/segm)
x1_error.append(np.linalg.norm(x1 - true_x1(t), np.inf))
x2_error.append(np.linalg.norm(x2 - true_x2(t), np.inf))
我明白了:
plt.plot(step, x1_error, label="x1_error")
plt.plot(step, x2_error, label="x2_error")
plt.legend()
因此,错误与步骤呈线性关系。这真的很奇怪,因为它应该是O(step^4)
的顺序。谁能告诉我我做错了什么?
答案 0 :(得分:2)
for i in range(1, h):
这将从1
迭代到h-1
。由于缺少最后一步,因此x[h-1]
T-T/h
与T
时的确切解决方案之间的差异为O(T/h)
。
因此使用
for i in range(1,h+1):
从h
到i-1
或
i
步骤
for i in range(h):
从h
到i
的{{1}}步骤。
此外,i+1
将生成np.linspace(0,1,4)
个等间距的数字,其中第一个为4
,最后一个为0
,从而产生
1
这可能不是你所期待的。因此,使用上述修正
array([ 0. , 0.33333333, 0.66666667, 1. ])
在两次计算中使用相同的时间点。
如果您使用通常含义的字母会更容易理解,其中t = np.linspace(0, T, segm+1)
或h
是步长,dt
是步数。然后在循环N
或h=T/N
之前定义,以避免在函数调用中重复使用dt=T/N
。