如何在极坐标中进行插值

Question

我有极坐标，半径0.05 <= r <= 1和0 ≤ θ ≤ 2π。半径r是0.05到1之间的50个值，极角θ是0到2π之间的24个值。

如何插入r = 0.075和theta = pi/8？

Answer 1

我不知道你尝试了什么，但是interp2在极地数据上的效果与在笛卡尔上的效果一样。以下是一些证据：

% Coordinates
r = linspace(0.05, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 24);

% Some synthetic data
z = sort(rand(50, 24));

% Values of interest
ri = 0.075;
ti = pi/8;

% Manually interpolate
rp = find(ri <= r, 1, 'first');
rm = find(ri >= r, 1, 'last');

tp = find(ti <= t, 1, 'first');
tm = find(ti >= t, 1, 'last');

drdt = (r(rp) - r(rm)) * (t(tp) - t(tm));

dr = [r(rp)-ri  ri-r(rm)];
dt = [t(tp)-ti  ti-t(tm)];

fZ = [z(rm, tm) z(rm, tp)
      z(rp, tm) z(rp, tp)];

ZI_manual = (dr * fZ * dt.') / drdt

% Interpolate with MATLAB 
ZI_MATLAB = interp2(r, t, z', ri, ti, 'linear')

结果：

ZI_manual =
    2.737907208525297e-002
ZI_MATLAB =
    2.737907208525298e-002

Answer 2

根据评论，您有以下信息

%the test point
ri=0.53224;
ti = pi/8;

%formula fo generation of Z
g=9.81
z0=@(r)0.01*(g^2)*((2*pi)^-4)*(r.^-5).*exp(-1.25*(r/0.3).^-4);
D=@(t)(2/pi)*cos(t).^2; 
z2=@(r,t)z0(r).*D(t) ;

%range of vlaues of r and theta
r=[0.05,0.071175,0.10132,0.14422,0.2053, 0.29225,0.41602,0.5922,0.84299,1.2]; 
t=[0,0.62832,1.2566,1.885, 2.5133,3.1416,3.7699,4.3982,5.0265,5.6549,6.2832];

并且您希望插入测试点。

当您对某些数据进行采样以将其用于插值时，您应该考虑如何根据您的要求对数据进行采样。 因此，当您对极坐标的常规网格进行采样时，这些坐标在转换为矩形时将形成圆形形状 大多数点都集中在cricle的中心，当我们从中心移动到外部区域时，点之间的距离增加。

%regular grid generated for r and t
[THETA R] = meshgrid(t ,r);
% Z for polar grid
Z=z2(R,THETA);
%convert coordinate from polar to cartesian(rectangular):
[X, Y] = pol2cart (THETA, R);
%plot points
plot(X, Y, 'k.');
axis equal

因此，当您使用这些点进行插值时，插值的精度在中心处较大，而在点之间距离增加的外部区域中则较低。
换句话说，使用这种采样方法，您更重视与外部区域相关的中心区域。 为了提高准确度，应增加网格点（r和theta）的密度，因此如果r和theta的长度为11，则可以创建大小为20的r和theta以提高精度。
另一方面，如果在直角坐标中创建常规网格，则每个区域都具有相同的重要性。因此，插值的准确性在所有地区都是相同的 首先，在极坐标中创建一个规则网格，然后将网格转换为直角坐标，这样就可以计算出直角坐标中采样点的范围（最小最​​大值）。基于此范围，您可以在直角坐标中创建规则网格 然后使用z2公式将直角坐标的规则网格转换为极坐标以获得网格点的z。

%get the extent of points
extentX = [min(X(:)) max(X(:))];
extentY = [min(Y(:)) max(Y(:))];

%sample 100 points(or more or less) inside a region specified be the extents
X_samples = linspace(extentX(1),extentX(2),100);
Y_samples = linspace(extentY(1),extentY(2),100);
%create regular grid in rectangular coordinates
[XX YY] = meshgrid(X_samples, Y_samples);
[TT RR] = cart2pol(XX,YY);
Z_rect = z2(RR,TT);

对于测试点的插值说[ri ti]首先将其转换为矩形，然后使用XX ,YY z值进行插值

[xi yi] = pol2cart (ti, ri);
z=interp2(XX,YY,Z_rect,xi,yi);

如果您无法更改数据采样方式，并且只有@RodyOldenhuis讨论的极点网格，您可以执行以下操作：

1. 使用interp2插入极坐标（网格化数据的插值） 这种方法很简单，但缺点是r和θ不是相同的比例，这可能会影响插值的准确性。

   z = interp2(THETA, R, Z, ti, ri)

2. 将极坐标转换为矩形，然后应用针对散乱数据的插值方法。 这种方法需要更多的计算，但结果更可靠。 MATLAB具有griddata函数，给定散乱点首先生成点的三角剖分，然后在三角形顶部创建规则网格并插入网格点的值。 因此，如果要插入点[ri ti]的值，则应该应用第二个插值来从插值网格中获取点的值。

借助spatialanalysisonline和Wikipedia基于三角测量的线性插值的一些信息帮助（在Octave中测试。在较新版本的MATLAB中使用triangulation和{{1推荐而不是pointLocation和delaunay）：

tsearch

更多细化： 由于已知搜索点被4个点包围，因此我们只能使用这些点进行三角测量。这些点形成一个梯形。梯形的每个对角线形成两个三角形，因此使用梯形的顶点我们可以形成4个三角形，梯形内部的点也可以位于至少2个三角形中。 基于三角测量的先前方法仅使用来自一个三角形的信息，但是测试点的z可以从两个三角形的数据内插两次，并且计算的z值可以被平均以获得更好的近似。

ri=0.53224;
ti = pi/8;
[THETA R] = meshgrid(t ,r);
[X, Y] = pol2cart (THETA, R);
[xi yi] = pol2cart (ti, ri);
%generate triangulation
tri = delaunay (X, Y);
%find the triangle that contains the test point
idx = tsearch (X, Y, tri, xi, yi);
pts= tri(idx,:);
%create a matrix that repesents equation of a plane (triangle) given its 3 points
m=[X(pts);Y(pts);Z(pts);ones(1,3)].';
%calculate z based on det(m)=0;
z= (-xi*det(m(:,2:end)) + yi*det([m(:,1) m(:,3:end)]) + det(m(:,1:end-1)))/det([m(:,1:2) m(:,end)]);

<强>结果：

%find 4 points surrounding the test point
ft= find(t<=ti,1,'last');
fr= find(cos(abs(diff(t(ft+(0:1))))/2) .* r < ri,1,'last');
[T4 R4] = meshgrid(t(ft+(0:1)), r(fr+(0:1)));
[X4, Y4] = pol2cart (T4, R4);
Z4 = Z(fr+(0:1),ft+(0:1));
%form 4 triangles
tri2= nchoosek(1:4,3);
%empty vector of z values that will be interpolated from 4 triangles
zv = NaN(4,1);
for h = 1:4
    pts = tri2(h,:);
    % test if the point lies in the triangle
    if ~isnan(tsearch(X4(:),Y4(:),pts,xi,yi))
        m=[X4(pts) ;Y4(pts) ;Z4(pts); [1 1 1]].';
        zv(h)= (-xi*det(m(:,2:end)) + yi*det([m(:,1) m(:,3:end)]) + det(m(:,1:end-1)))/det([m(:,1:2) m(:,end)]);
    end
end
z= mean(zv(~isnan(zv)))

<强>结论：

与原始数据结构和采样方法相关的插值结果。如果采样方法匹配原始数据模式的插值结果更准确，那么在极坐标网格点遵循数据模式的情况下，常规极坐标插值结果可以更可靠。但是如果常规极坐标不匹配数据结构或数据结构如不规则地形，基于三角测量的插值方法可以更好地表示数据。

Answer 3

请检查这个例子，我使用了两个for循环，在for循环中我使用了条件语句，如果你评论这个条件语句并运行程序，你将得到正确的答案，在你取消注释这个条件语句并运行程序之后你会得到错误的答案。请检查一下。

% Coordinates
r = linspace(0.05, 1, 10);
t = linspace(0, 2*pi, 8);

% Some synthetic data
%z = sort(rand(50, 24));
 z=zeros();
 for i=1:10
   for j=1:8
 if r(i)<0.5||r(i)>1
     z(i,j)=0;
 else
   z(i,j) = r(i).^3'*cos(t(j)/2);
 end
 end 
end

% Values of interest
ri = 0.55;
ti = pi/8;

% Manually interpolate
rp = find(ri <= r, 1, 'first');
rm = find(ri >= r, 1, 'last');

tp = find(ti <= t, 1, 'first');
tm = find(ti >= t, 1, 'last');

drdt = (r(rp) - r(rm)) * (t(tp) - t(tm));

dr = [r(rp)-ri  ri-r(rm)];
dt = [t(tp)-ti  ti-t(tm)];

fZ = [z(rm, tm) z(rm, tp)
      z(rp, tm) z(rp, tp)];

ZI_manual = (dr * fZ * dt.') / drdt

% Interpolate with MATLAB 
ZI_MATLAB = interp2(r, t, z', ri, ti, 'linear')

结果：     z1 =         0.1632     ZI_manual =         0.1543     ZI_MATLAB =         0.1582