给定n和k，k <= n。
在多少种方式中，我们可以从集{1,2，...，n}中精确选择'k'个不同的数字，这样每个选中的数字'a'中至少有一个'a-1'，'a + 1'也被选中了？
时间复杂度 O（n * k）的动态编程解决方案是众所周知的。我们能做得更好吗？
答案 0 :(得分：3)
是的，我们只需要做一些组合学。
将运行定义为连续整数的最大子集。我们让r的范围从1到floor（k / 2），并用r运行求和子集的数量。
为了计算具有给定运行次数r的子集的数量，我们采用（a）分区运行长度的方式的次数（b）在运行之间划分间隙的方式的数量。
对于（a），将整数k划分为大于或等于2的r个整数之和的方法的数量是（（k-2r +（r-1））select（r-1））by标准技术。
对于（b），将整数n - k划分为r + 1个整数的方法的数量，其中所有都是非负的，除了第一个和最后一个都是正的是（（n - k - （r - 1）+ r）选择r）。
天真地，这个公式需要O（k ^ 2）算术运算，但如果我们使用r - 1的二项式系数计算r的那些，那么运行时间就变成O（k）算术运算。