Question

我正在阅读算法设计手册，此解决方案不在手册中。我花了30分钟搞清楚，所以我想知道它是否正确。这是函数的伪代码：

function conundrum(n)
  r:=0
  for i:=1 to n do
    for j:=i+1 to n do
      for k:=i+j−1 to n do
        r:=r+1

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}\sum_{k=i+j-1}^{n}1$

我们解决了第一次求和，得到了

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}(n - i - j + 1)$

$\sum_{i=1}^{n}(n^2 - 5n - 2 - i^2 - 3i)$

最终的方程应该是：

$n^3 - 5n^2 - 2n - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{3n(n+1)}{2}$

鉴于n ^ 4为负，我们可以得出结论，该算法的运行时间为 $\Theta (n^3)$

这是对的吗？

Answer 1

最终结果是正确的，详细计算中至少有一个错误：从a到b的总和超过1是b-a + 1.

此外，下一学期的标志是无关紧要的（我假设你的意思是n ^ 2）。即使n ^ 2项是正数，运行时也是Theta（n ^ 3）。