Question

我最近在Tardos和Kleinberg的Algorithm Design第4章中读到了Interval Scheduling算法。提供给区间调度问题的解决方案是：

Sort the n intervals based on their finishing time and store in array F
A = [] #list of intervals
S = array with property that S[i] contains the finishing time of the ith interval
i = 0
For j = 0 to n-1
    if S[j] >= F[i] #this interval does not overlap with the ith interval
        i = j
        A.add(j)

可以在此处找到C ++ / Java / Python中的此算法：http://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithms-set-1-activity-selection-problem/

问题的扩展，也称为间隔着色问题，可以解释如下。

我们给出了一组间隔，我们想要为所有间隔着色因此，给定相同颜色的间隔不会与目标相交是尽量减少使用的颜色数量。

书中提出的算法是：

Sort the intervals by their start times in a list I
n = len(I)
For j = 1 to n:
   For each interval I[i] that precedes I[j] and overlaps it:
       Exclude the label of I[i] from consideration for I[j]
The jth interval is assigned a nonexcluded label

然而，这个算法的运行时间是不是O（n ^ 2）？我想到了一个更好的，但我不确定它是否正确。基本上，我们修改了Interval Scheduling的算法。

Sort the n intervals based on their finishing time and store in array F
A = []
x = 1
S = array with property that S[i] contains the finishing time of the ith interval
i = 0
while F is not empty:
    new = []
    For j = 0 to n-1
        if S[j] >= F[i] #this interval does not overlap with the ith interval
            i = j
            A.add(F[j])
        else:
            new.add(F[j])
    F = new
    Recompute S
    print x, A
    A = []
    x++

我可能在伪代码中有一个愚蠢的错误，但我希望你理解我的算法尝试做什么。基本上我通过重复运行标准间隔调度算法来剥离所有可能的颜色。

那么，我的算法不应该打印所有间隔的各种颜色吗？如果它是一个正确的算法，这比以前的算法更有效吗？如果不是，请你提供反例？谢谢！（有关区间调度的更多信息，请访问：https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_scheduling）

Answer 1

您的算法可以产生次优的解决方案。以下是您的算法将产生的示例：

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显然，对于相同的输入，可以使用以下双色解决方案（将由经过验证的最佳算法生成）：

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最后，尽管本书提出的算法的伪代码描述看起来确实需要O（n ^ 2）时间，但可以使用其他数据结构加速。这是一个O（n log n）算法：不是循环遍历所有n个区间，而是按递增顺序循环遍历所有2n区间端点。保持按颜色排序的可用颜色的堆（优先级队列），最初包含n种颜色;每当我们看到间隔起始点时，从堆中提取最小的颜色并将其分配给该间隔;每次我们看到间隔终点时，将其指定的颜色重新插入堆中。处理的每个端点（开始或结束）都是O（log n）时间，其中有2n个。这与排序间隔的时间复杂度相匹配，因此总体时间复杂度也是O（n log n）。

贪心算法的最优算法：区间调度 - 调度所有区间

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