集合覆盖的回溯算法

Question

有人能为我提供回溯算法来解决“集合覆盖”问题，以找到覆盖宇宙中所有元素的最小数量的集合吗？

贪婪的方法几乎总是选择比最佳套数更多的集合。

Answer 1

这个paper使用线性规划松弛来解决覆盖问题。

基本上，LP弛豫产生良好的界限，并且可用于识别在许多情况下最佳的解决方案。顺便说一下，当我上次查看开源LP求解器（〜2003）时，我没有留下深刻的印象（有些人给出了不正确的结果），但现在似乎有一些不错的开源LP求解器。

Answer 2

你的问题需要更多的澄清 - 似乎给你一组子集$$ S_1，\ ldots，集合A的S_n $$，这样子集的并集等于A，你想要一个联合仍为A的最小子集数。

基本方法是使用一些启发式方法进行分支和绑定。例如，如果A的特定元素只在一个子集$$ S_i $$中，则必须选择$$ S_i $$。同样，如果$$ S_k $$是$$ S_j $$的子集，则没有理由考虑$$ S_k $$;如果元素$$ a_i $$在$$ a_j $$所在的每个子集中，那么你不能考虑$$ a_i $$。

对于分支和绑定，您需要良好的边界启发式。下限可以来自独立集（如果在A中有k个元素$$ i_1，\ ldots，i_L $$，则每个如果$$ i_p $$包含在$$ A_p $$和$$ i_q $$中在$$ A_q $$中，$$ A_p $$和$$ A_q $$是不相交的。更好的下界来自上述LP放松。

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