Question

查找图形的色数是NP-Hard问题，因此理论上没有快速求解器＃39;是否有任何公开的软件可以快速计算图表的精确色数？

我正在编写一个Python脚本来计算许多图的色数，但即使是小图也需要很长时间。我使用的图表可以是稀疏或密集但通常少于10,000个节点的各种图形。我将问题描述为整数程序并将其传递给Gurobi来解决。您是否有软件，不同IP配方或不同Gurobi设置的建议来加快速度？

import networkx as nx
from gurobipy import *

# create test graph
n = 50
p = 0.5
G = nx.erdos_renyi_graph(n, p)

# compute chromatic number -- ILP solve
m = Model('chrom_num')

# get maximum number of variables necessary
k = max(nx.degree(G).values()) + 1

# create k binary variables, y_0 ... y_{k-1} to indicate whether color k is used
y = []
for j in range(k):
    y.append(m.addVar(vtype=GRB.BINARY, name='y_%d' % j, obj=1))

# create n * k binary variables, x_{l,j} that is 1 if node l is colored with j
x = []
for l in range(n):
    x.append([])
    for j in range(k):
        x[-1].append(m.addVar(vtype=GRB.BINARY, name='x_%d_%d' % (l, j), obj=0))

# objective function is minimize colors used --> sum of y_0 ... y_{k-1}
m.setObjective(GRB.MINIMIZE)
m.update()

# add constraint -- each node gets exactly one color (sum of colors used is 1)
for u in range(n):
    m.addConstr(quicksum(x[u]) == 1, name='NC_%d' % u)

# add constraint -- keep track of colors used (y_j is set high if any time j is used)
for u in range(n):
    for j in range(k):
        m.addConstr(x[u][j] <= y[j], name='SH_%d_%d' % (u,j))

# add constraint -- adjacent nodes have different colors
for u in range(n):
    for v in G[u]:
        if v > u:
            for j in range(k):
                m.addConstr(x[u][j] + x[v][j] <= 1, name='ADJ_%d_%d_COL_%d' % (u,v,j))

# update model, solve, return the chromatic number
m.update()
m.optimize()
chrom_num = m.objVal

我希望计算精确的色数，尽管我会对计算近似色数的算法感兴趣，如果它们有合理的理论保证，例如常数因子近似等等。

Answer 1

您可能想尝试使用SAT求解器或Max-SAT求解器。我希望它们比减少整数程序更有效，因为我认为可着色性更接近于可靠性。

SAT求解器接收联合范式中的命题布尔公式，并输出公式是否可满足。以下问题COL_k在NP中：

输入：图G和自然数k。

输出：G是可着色的。

为了求解COL_k，你将它编码为命题布尔公式，每个对（u，c）有一个命题变量，由顶点u和颜色1＆lt; = c＆lt; = k组成。您需要编写子句，确保每个顶点至少用一种颜色着色。您还需要使用子句来确保每个边缘都正确。然后你只需要进行二分搜索以找到k的值，使得G是k可着色但不是（k-1） - 可着色的。有各种免费的SAT求解器。我成功使用了Lingeling，但你可以在SAT competition website上找到很多其他人。它们都使用相同的输入和输出格式。 Google＆＃34; MiniSAT用户指南：如何使用MiniSAT SAT解算器＆＃34;有关此格式的解释。

您也可以使用Max-SAT解算器，再次咨询Max-SAT competition website。他们可以解决Partial Max-SAT问题，其中的子句被分为硬条款和软条款。这里，求解器在满足所有硬条款的同时找到可以满足的最大软语句数，参见Max-SAT竞赛网站中的输入格式（在规则 - >详细信息下）。

您可以将色数问题表示为一个Max-SAT问题（与上面的几个SAT问题相反）。从这个意义上讲，Max-SAT更适合。另一方面，我的印象是SAT求解器通常比Max-SAT求解器表现更好。我对这种求解器没有任何经验，所以不能多说什么。

色数的快速精确求解器

1 个答案: