如果f（x）=（An）x ^ n +（An-1）x ^（n-1）+ ... +（A1）x +（A0） 你怎么能证明f（x）是大的theta（x ^ n）。
我已经考虑过了，人们可以通过证明f（x）大O（x ^ n）和x ^ n大O（f（x））来做到这一点。我已经找到了前者的证明（使用三角不等式），但无法理解如何做后者。
或者可以证明f（x）是大的欧米茄（x ^ n）。
我已经坚持这个问题，你能给我的任何暗示或线索都会有很大的帮助。
答案 0 :(得分：1)
考虑| An x ^ n + A（n-1）x ^（n-1）+ ... | / | x ^ n |作为x - ＆gt; OO。
表达式非常接近| An |如果An不为零，则对于足够大的x，表达式至少为| An | / 2。
答案 1 :(得分：0)
你可以证明它既有大O（x ^ n）又有大欧米茄（x ^ n）。
答案 2 :(得分：0)
为了证明f（x）是O（x ^ n），观察到对于x> = 1，每个0 <= x ^ 0，x ^ 2，...... x ^ n＆lt; = x ^ ñ
因此，f（x）<=（n + 1）* max（A_0 ... A_n）* x ^ n
但是（n + 1）* max（A_0 ... A_n）是一个相对于x的常数，所以我们有了[*]
要证明x ^ n是O（f（x））实际上非常困难，因为它不是真的除非A_n！= 0.但是如果A_n！= 0，则需要证明：
x^n is O(An x^n + ... + A0 x^0)
关于限制的一些定理，我不能打扰陈述，这是真的iff
(1/An) x^n is O(x^n + ... + (A0/An) x^0)
这是真的iff
(1/An) x^n - ... - (A0/An) x^0 is O(x^n) [**]
但是现在LHS是一个多项式，我们在第一部分中证明了它是O（x ^ n）。 QED。
实际上，你实际做的是证明一些关于具有已知大O复杂性的两个函数之和的大O复杂性的引理。然后你只是观察到两边的所有术语都是O（x ^ n），你可以忽略其余的。
[*]实际上，这是一个软糖，因为重要的是比较函数的绝对值。但是对于足够大的x，f（x）与A_n具有相同的符号，所以如果是这样的话 我们只是反过来做一个类似的不平等。
我认为你真的不需要使用三角不等式来“逃避”abs，因为多项式函数必然在一定范围之外是单调的（也就是说，它们只有有限多个拐点），并且当考虑到大O限制，我们只关心在一定范围之外发生的事情。
[**]另一个软糖，我真的应该在RHS上写下限制常数M，并且包括在将术语传递给LHS时。好的，所以这只是证明的草图。