连接点与网格

Question

如果网格中有一组随机点，你如何检查有效它们都位于其他点的固定范围内。即：选择任意一个随机点，然后导航到网格中的任何其他点。

进一步澄清：如果你有一个1000 x 1000的网格并随机放置100个点，你怎么能证明任何一个点在一个邻居的100个单位内并且所有点都可以从一个点走到另一个点？

我一直在写一些代码，并提出了一个有趣的问题：非常偶尔（到目前为止只有一次）它会创建一个点数岛，超过其余点的最大范围。我需要解决这个问题，但蛮力似乎不是答案。

它是用Java编写的，但我对伪代码或C ++都很好。

Answer 1

我喜欢@ joel.neely的construction approach但是如果你想确保更均匀的密度，这更有​​可能起作用（尽管它可能产生更多的集群而不是整体的均匀密度）：

1. 通过从有效网格内的均匀分布中选择x，y来随机放置初始点P_0
2. 对于i = 1：N-1
   1. 选择随机j =从0到i-1均匀分布，识别先前放置的点P_j
   2. 选择距离（P_i，P_i）＆lt;的随机点P_j 100，重复以下步骤，直到在下面的子步骤4中选择有效的P_i：
      1. 选择（dx，dy）均匀分布在-100到+100
      之间
      2. 如果dx ^ 2 + dy ^ 2> 100 ^ 2，距离太大（21.5％的时间失败），回到上一步。
      3. 计算候选坐标（P_i）=坐标（P_j）+（dx，dy）。
      如果
      4. P_i位于整个有效网格中，则该文件无效。

Answer 2

快速思考：如果将网格划分为50x50补丁，并且放置初始点，则还会记录它们属于哪个补丁。现在，当你想检查一个新点是否在其他点的100像素范围内时，你只需检查补丁加上它周围的8点，看看点数是否匹配。

，例如，你知道你有100个随机点，每个补丁包含它们包含的点数，你可以简单总结并查看它是否确实为100 - 这意味着所有点都可以到达。

我确信还有其他方法，很难。

编辑：50x50补丁的左上角到右下角的距离是sqrt（50 ^ 2 + 50 ^ 2）= 70分，所以你可能不得不选择较小的补丁大小。也许35或36会做（50 ^ 2 = sqrt（x ^ 2 + x ^ 2）=＆gt; x = 35.355 ......）。

Answer 3

找到点集的convex hull，然后使用rotating calipers方法。凸壳上最远的两个点是该组中最远的两个点。由于所有其他点都包含在凸包中，因此保证它们比两个极值点更接近。

Answer 4

就评估现有的点集而言，这看起来像是一种Euclidean minimum spanning tree问题。维基百科页面声明这是Delaunay triangulation的子图;所以我认为计算Delaunay三角剖分（参见prev。参考或谷歌“计算几何”）然后最小生成树并验证所有边的长度都小于100就足够了。

从阅读参考文献看来，这是O（N log N），也许有更快的方法，但这已足够。

更简单（但效率可能更低）的算法类似于以下内容：

1. 给定：这些点位于从索引0到N-1的数组中。
2. 按x坐标顺序对点进行排序，即O（N log N）以进行有效排序。
3. 初始化i = 0。
4. 增量i。如果i == N，停止成功。（所有点都可以从另一个半径为R的地方到达）
5. 初始化j = i。
6. 减少j。
7. 如果j<0或P[i].x - P[j].x > R，停止失败。（存在间隙，并且半径为R的所有点都无法达到）
8. 否则，如果P [i] .x和P [j] .x在彼此的R之内，我们就到达此处。检查点P [j]是否足够接近P [i]：如果(P[i].x-P[j].x)^2 + (P[i].y-P[j].y)^2 < R ^ 2`，则点P [i]可以通过半径R内的先前点之一到达，并返回步骤4。
9. 继续尝试：回到第6步。

编辑：这可以修改为应为O（N log N）的东西，但我不确定：

1. 给定：这些点位于从索引0到N-1的数组中。
2. 按x坐标顺序对点进行排序，即O（N log N）以进行有效排序。
3. 以y坐标顺序维护点的有序集合YLIST，将YLIST初始化为集合{P [0]}。我们将从左到右扫描x坐标，逐点向YLIST添加点，并删除x坐标距离新添加点太远的点。
4. 初始化i = 0，j = 0。
5. 此时循环不变总是为真：所有点P [k]其中k <= i形成一个网络，在该网络中，它们可以通过半径R彼此到达.YLIST中的所有点都具有位于P之间的x坐标[i] .xR和P [i] .x
6. 增量i。如果i == N，成功停止。
7. 如果P [i] .x-P [j] .x <= R，转到步骤10.（如果i == j，则自动为真）
8. 点P [j]无法从半径为R的点P [i]到达。从YLIST中删除P [j]（这是O（log N））。
9. 增加j，转到第6步。
10. 此时，所有点P [j] j<i和P [i] .x-R与P [i] .x之间的x坐标都在集合YLIST中。
11. 将P [i]添加到YLIST（这是O（log N）），并记住YLIST中的索引k，其中YLIST [k] == P [i]。
12. 点YLIST [k-1]和YLIST [k + 1]（如果它们存在; P [i]可能是YLIST中唯一的元素，或者它可能处于极端）是YLIST到P的最近点[i]中。
13. 如果点YLIST [k-1]存在并且在P [i]的半径R内，则P [i]可以从至少一个先前点到达半径R.转到第5步。
14. 如果点YLIST [k + 1]存在并且在P [i]的半径R内，则P [i]可以从至少一个先前点到达半径为R.转到第5步。
15. P [i]无法从之前的任何点到达。 停止失败。

Answer 5

新增和改进; - ）

感谢Guillaume和Jason S的评论让我思考了一下。这产生了第二项提案，其统计数据显示出了显着的改善。

Guillaume评论说，我发布的早期策略会失去统一的密度。当然，他是对的，因为它本质上是一个“酒鬼的行走”，往往围绕着原点。然而，点的均匀随机放置产生了很大的失败“路径”要求的可能性（所有点都可以通过没有大于100的步长的路径连接）。对这种情况的测试是昂贵的;产生纯粹随机的解决方案直到一次通过更是如此。

杰森S提供了一个变体，但是对大量模拟的统计测试使我得出结论，他的变异产生的模式与我的第一个提议中的模式一样（基于检查平均值和坐标的标准。）值）。

下面修订的算法产生的点集的统计量与纯（均匀）随机放置的统计量非常相似，但是由构造保证以满足路径要求。不幸的是，可视化比口头解释更容易。实际上，它要求点在一个模糊的一致方向（NE，SE，SW，NW）中随机错开，只有在“从墙上反弹”时才会改变方向。

以下是高级概述：

1. 随机选择一个初始点，将水平行程设置为RIGHT，将垂直行程设置为DOWN。

2. 重复剩余的点数（例如原始规格中的99）：

   2.1。随机选择距离介于50和100之间的dx和dy。（我假设欧几里德距离 - 平方和的平方根 - 在我的试验实施中，但“出租车”距离 - 绝对值之和 - 会更容易代码。）

   2.2。根据水平和垂直行程（向右/向下 - >添加，向左/向上 - >减去）将dx和dy应用于上一点。

   2.3。如果任一坐标超出范围（小于0或至少1000），则反映违反边界的坐标，并以相反方向替换其行程。这意味着四种情况（2个坐标x 2个边界）：

   2.3.1. if x < 0, then x = -x and reverse LEFT/RIGHT horizontal travel.
   2.3.2. if 1000 <= x, then x = 1999 - x and reverse LEFT/RIGHT horizontal travel.
   2.3.3. if y < 0, then y = -y and reverse UP/DOWN vertical travel.
   2.3.4. if 1000 <= y, then y = 1999 - y and reverse UP/DOWN vertical travel.
   

请注意，步骤2.3中的反射保证将新点保留在前一点的100个单位内，因此保留了路径要求。然而，水平和垂直行程约束迫使点的产生在整个空间中随机“扫描”，产生比原始纯粹的“酒鬼步行”算法更多的总色散。

Answer 6

如果我正确理解您的问题，给定一组站点，您需要测试每个站点的最近邻居（对于L1距离，即网格距离）是否距离小于值K.

通过计算点集的Delaunay三角剖分，可以很容易地获得欧几里德距离：站点的最近邻居是Delaunay三角剖分中的邻居之一。有趣的是，L1距离大于欧几里德距离（在因子sqrt（2）内）。

以下是测试您的状况的方法如下：

1. 计算网站的Delaunay三角剖分
2. 对于每个站点s，在三角测量中从s开始广度优先搜索，这样你就可以发现欧几里德距离小于K的所有顶点（Delaunay三角剖分具有距离较小的顶点集合的属性）在三角测量中连接来自给定站点的K）
3. 对于每个站点s，在距离s小于K的这些顶点中，检查它们中的任何一个是否距离s小于K的L1距离。如果没有，该物业不满意。

可以通过多种方式改进此算法：

1. 一旦找到L1距离小于K的站点，第2步的广度优先搜索当然应该停止。
2. 在搜索s的有效邻居期间，如果发现站点s'与s的L1距离小于K，则无需为s'寻找有效的邻居：s显然是其中之一它们。
3. 不需要完整的广度优先搜索：在访问s的所有三角形之后，如果三角测量中s的邻居都不是有效邻居（即L1距离小于K的站点），则表示为（ v ₁ ，...，v _n ）邻居。最多有四个边（v _i ，v _{i + 1} ），它们与水平轴和垂直轴相交。只能通过这四个（或更少）边缘继续搜索。 [这来自L1球体的形状]

Answer 7

通过施工强制所需的条件。不是仅通过绘制随机数来放置所有点，而是按如下方式约束坐标：

1. 随机放置一个初始点。

2. 重复剩余的点数（例如99）：

   2.1。随机选择前一点某个范围（例如90）内的x坐标。

   2.2。计算y坐标的合法范围，使其在前一点的100个单位内。

   2.3。随机选择该范围内的y坐标。

3. 如果您想完全遮盖原点，请按坐标对对点进行排序。

这对于纯随机性不需要太多开销，但是将保证每个点在至少一个其他点的100个单位内（实际上，除了第一个和最后一个，每个点将在两个其他点。）

作为上述变体，在步骤2中，随机选择任何已生成的点并将其用作参考而不是前一点。