矢量在线上的正交投影与numpy产生错误的结果

Question

我有350个文档分数，当我绘制它们时，有这样的形状：

docScores = [(0, 68.62998962), (1, 60.21374512), (2, 54.72480392), 
             (3, 50.71389389), (4, 49.39723969), ...,  
             (345, 28.3756237), (346, 28.37126923), 
             (347, 28.36397934), (348, 28.35762787), (349, 28.34219933)]

我在pastebin上发布了完整数组here（它对应于下面代码中的dataPoints列表。）

现在，我最初需要找到此elbow point曲线的L-shape，我感谢this post。

现在，在下图中，红色矢量p代表肘点。我想在向量x=(?,?)上找到b（黄色星）点，它对应于p到b的正交投影。

情节上的红点是我获得的红点（显然是错误的）。我得到了以下内容：

b_hat = b / np.linalg.norm(b)    #unit vector of b
proj_p_onto_b = p.dot(b_hat)*b_hat
red_point = proj_p_onto_b + s

现在，如果p对b的投影由其起点和终点定义，即s和x（黄色星），则遵循那个proj_p_onto_b = x - s，因此x = proj_p_onto_b + s？

我在这里犯了错误吗？

编辑：在回答@cxw时，这是计算肘点的代码：

def findElbowPoint(self, rawDocScores):
    dataPoints = zip(range(0, len(rawDocScores)), rawDocScores)
    s = np.array(dataPoints[0])
    l = np.array(dataPoints[len(dataPoints)-1])
    b_vect = l-s
    b_hat = b_vect/np.linalg.norm(b_vect)
    distances = []
    for scoreVec in dataPoints[1:]:
        p = np.array(scoreVec) - s
        proj = p.dot(b_hat)*b_hat
        d = abs(np.linalg.norm(p - proj)) # orthgonal distance between b and the L-curve
        distances.append((scoreVec[0], scoreVec[1], proj, d))

    elbow_x = max(distances, key=itemgetter(3))[0]
    elbow_y = max(distances, key=itemgetter(3))[1]
    proj = max(distances, key=itemgetter(3))[2]
    max_distance = max(distances, key=itemgetter(3))[3]

    red_point = proj + s

编辑：以下是情节的代码：

>>> l_curve_x_values = [x[0] for x in docScores]
>>> l_curve_y_values = [x[1] for x in docScores]
>>> b_line_x_values = [x[0] for x in docScores]
>>> b_line_y_values = np.linspace(s[1], l[1], len(docScores))
>>> p_line_x_values = l_curve_x_values[:elbow_x]
>>> p_line_y_values = np.linspace(s[1], elbow_y, elbow_x)
>>> plt.plot(l_curve_x_values, l_curve_y_values, b_line_x_values, b_line_y_values, p_line_x_values, p_line_y_values)
>>> red_point = proj + s
>>> plt.plot(red_point[0], red_point[1], 'ro')
>>> plt.show()

Answer 1

如果您使用绘图直观地确定解决方案是否正确，则必须在每个轴上使用相同的比例绘制数据，即使用plt.axis('equal')。如果轴没有相同的刻度，则曲线之间的角度会失真。

Answer 2

首先，重点是〜（50,37）p或s+p？如果p，那可能就是您的问题！如果p变量的Y分量为正数，则在获得点积时，您将无法获得预期的结果。

假设该点为s+p，如果有一点Post-It涂鸦是正确的，

p_len = np.linalg.norm(p)
p_hat = p / p_len
red_len = p_hat.dot(b_hat) * p_len   # red_len = |x-s|
    # because p_hat . b_hat = 1 * 1 * cos(angle) = |x-s| / |p|
red_point = s + red_len * b_hat

未经测试！因人而异。希望这会有所帮助。