我正在编写一段代码来查找R中矩阵的QR分解。
X <- structure(c(0.8147, 0.9058, 0.127, 0.9134, 0.6324, 0.0975, 0.2785,
0.5469, 0.9575, 0.9649, 0.1576, 0.9706, 0.9572, 0.4854, 0.8003
), .Dim = c(5L, 3L))
myqr <- function(A) {
n <- nrow(A)
p <- ncol(A)
Q <- diag(n)
Inp <- diag(nrow = n, ncol = p)
for(k in c(1:ncol(A))) {
# extract the kth column of the matrix
col<-A[k:n,k]
# calculation of the norm of the column in order to create the vector
norm1<-sqrt(sum(col^2))
# Define the sign positive if a1 > 0 (-) else a1 < 0(+)
sign <- ifelse(col[1] >= 0, -1, +1)
# Calculate of the vector a_r
a_r <- col - sign * Inp[k:n,k] * norm1
# beta = 2 / ||a-r||^2
beta <- 2 / sum(t(a_r) %*% a_r)
# the next line of code calculates the matrix Q in every step
Q <- Q - beta *Q %*% c(rep(0,k-1),a_r) %*% t(c(rep(0,k-1),a_r))
# calculates the matrix R in each step
A[k:n,k:p] <- A[k:n,k:p] - beta * a_r %*% t(a_r) %*% A[k:n,k:p]
}
list(Q=Q,R=A)
}
但是，在这里，我没有在每个步骤中计算表示住户反映的矩阵H，我也没有在每一步中计算矩阵A。
作为H = I - 2 v v'，如果我乘以Q，我获得
QH = Q - 2 (Qv) v' // multiplication on the left
HQ = Q - 2 v (Q'v)' // multiplication on the right
现在，这项操作应该在每一步都有效。但是，如果我考虑第一个矩阵H和第二个矩阵H1 ......这些矩阵将比第一个矩阵小。为了避免我使用下一行代码：
Q <- Q - beta * Q %*% c(rep(0,k-1),a_r) %*% t(c(rep(0,k-1),a_r))
但是，当我在每一步生成带有零的a_r个条目的新向量k时，我不确定为什么代码运行良好。
答案 0 :(得分：2)
我认为你想要与qr.default返回的完全相同的输出，它使用紧凑的QR存储。但后来我意识到你要分别存储Q和R因素。
通常，QR分解仅形成R但不形成Q。在下文中，我将描述两者都形成的QR分解。对于那些对QR分解缺乏基本了解的人，请先阅读：lm(): What is qraux returned by QR decomposition in LINPACK / LAPACK，其中有精心设计的数学公式。在下文中，我将假设知道Householder反射是什么以及如何计算它。
首先，一个Householder异教传染媒介是H = I - beta * v v'（其中beta的计算方式与你的代码一样），而不是H = I - 2 * v v'。
然后，QR分解A = Q R继续(Hp ... H2 H1) A = R，其中Q = H1 H2 ... Hp。要计算Q，我们初始化Q = I（单位矩阵），然后在循环中迭代地乘以Hk。为了计算R，我们在循环中迭代地初始化R = A并乘以Hk。
现在，在第k次迭代，我们在Q和A上有排名-1矩阵更新：
Q := Q Hk = Q (I - beta v * v') = Q - (Q v) (beta v)'
A := Hk A = (I - beta v * v') A = A - (beta v) (A' v)'
v = c(rep(0, k-1), a_r)，其中a_r是完整反射向量的简化非零部分。
你所拥有的代码是以残酷的力量进行更新：
Q <- Q - beta * Q %*% c(rep(0,k-1), a_r) %*% t(c(rep(0,k-1),a_r))
首先填充a_r以获得全反射向量并对整个矩阵执行秩-1更新。但实际上我们可以放弃那些零并写（如果不清楚的话，做一些矩阵代数）：
Q[,k:n] <- Q[,k:n] - tcrossprod(Q[, k:n] %*% a_r, beta * a_r)
A[k:n,k:p] <- A[k:n,k:p] - tcrossprod(beta * a_r, crossprod(A[k:n,k:p], a_r))
这样只会更新Q和A的一小部分。
t()和"%*%"！但几乎所有这些都可以由crossprod()或tcrossprod()替换。这消除了显式转置t()，并且内存效率更高; 您初始化另一个对角矩阵Inp，这是不必要的。要获得户主反射向量a_r，您可以替换
sign <- ifelse(col[1] >= 0, -1, +1)
a_r <- col - sign * Inp[k:n,k] * norm1
通过
a_r <- col; a_r[1] <- a_r[1] + sign(a_r[1]) * norm1
其中sign是R基函数。
## QR factorization: A = Q %*% R
## if `complete = FALSE` (default), return thin `Q`, `R` factor
## if `complete = TRUE`, return full `Q`, `R` factor
myqr <- function (A, complete = FALSE) {
n <- nrow(A)
p <- ncol(A)
Q <- diag(n)
for(k in 1:p) {
# extract the kth column of the matrix
col <- A[k:n,k]
# calculation of the norm of the column in order to create the vector r
norm1 <- sqrt(drop(crossprod(col)))
# Calculate of the reflection vector a-r
a_r <- col; a_r[1] <- a_r[1] + sign(a_r[1]) * norm1
# beta = 2 / ||a-r||^2
beta <- 2 / drop(crossprod(a_r))
# update matrix Q (trailing matrix only) by Householder reflection
Q[,k:n] <- Q[,k:n] - tcrossprod(Q[, k:n] %*% a_r, beta * a_r)
# update matrix A (trailing matrix only) by Householder reflection
A[k:n, k:p] <- A[k:n, k:p] - tcrossprod(beta * a_r, crossprod(A[k:n,k:p], a_r))
}
if (complete) {
A[lower.tri(A)] <- 0
return(list(Q = Q, R = A))
}
else {
R <- A[1:p, ]; R[lower.tri(R)] <- 0
return(list(Q = Q[,1:p], R = R))
}
}
现在让我们进行测试：
X <- structure(c(0.8147, 0.9058, 0.127, 0.9134, 0.6324, 0.0975, 0.2785,
0.5469, 0.9575, 0.9649, 0.1576, 0.9706, 0.9572, 0.4854, 0.8003
), .Dim = c(5L, 3L))
# [,1] [,2] [,3]
#[1,] 0.8147 0.0975 0.1576
#[2,] 0.9058 0.2785 0.9706
#[3,] 0.1270 0.5469 0.9572
#[4,] 0.9134 0.9575 0.4854
#[5,] 0.6324 0.9649 0.8003
首先是瘦QR版本：
## thin QR factorization
myqr(X)
#$Q
# [,1] [,2] [,3]
#[1,] -0.49266686 -0.4806678 0.17795345
#[2,] -0.54775702 -0.3583492 -0.57774357
#[3,] -0.07679967 0.4754320 -0.63432053
#[4,] -0.55235290 0.3390549 0.48084552
#[5,] -0.38242607 0.5473120 0.03114461
#
#$R
# [,1] [,2] [,3]
#[1,] -1.653653 -1.1404679 -1.2569776
#[2,] 0.000000 0.9660949 0.6341076
#[3,] 0.000000 0.0000000 -0.8815566
现在完整的QR版本：
## full QR factorization
myqr(X, complete = TRUE)
#$Q
# [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
#[1,] -0.49266686 -0.4806678 0.17795345 -0.6014653 -0.3644308
#[2,] -0.54775702 -0.3583492 -0.57774357 0.3760348 0.3104164
#[3,] -0.07679967 0.4754320 -0.63432053 -0.1497075 -0.5859107
#[4,] -0.55235290 0.3390549 0.48084552 0.5071050 -0.3026221
#[5,] -0.38242607 0.5473120 0.03114461 -0.4661217 0.5796209
#
#$R
# [,1] [,2] [,3]
#[1,] -1.653653 -1.1404679 -1.2569776
#[2,] 0.000000 0.9660949 0.6341076
#[3,] 0.000000 0.0000000 -0.8815566
#[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000
#[5,] 0.000000 0.0000000 0.0000000
现在让我们检查qr.default返回的标准结果：
QR <- qr.default(X)
## thin R factor
qr.R(QR)
# [,1] [,2] [,3]
#[1,] -1.653653 -1.1404679 -1.2569776
#[2,] 0.000000 0.9660949 0.6341076
#[3,] 0.000000 0.0000000 -0.8815566
## thin Q factor
qr.Q(QR)
# [,1] [,2] [,3]
#[1,] -0.49266686 -0.4806678 0.17795345
#[2,] -0.54775702 -0.3583492 -0.57774357
#[3,] -0.07679967 0.4754320 -0.63432053
#[4,] -0.55235290 0.3390549 0.48084552
#[5,] -0.38242607 0.5473120 0.03114461
## full Q factor
qr.Q(QR, complete = TRUE)
# [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
#[1,] -0.49266686 -0.4806678 0.17795345 -0.6014653 -0.3644308
#[2,] -0.54775702 -0.3583492 -0.57774357 0.3760348 0.3104164
#[3,] -0.07679967 0.4754320 -0.63432053 -0.1497075 -0.5859107
#[4,] -0.55235290 0.3390549 0.48084552 0.5071050 -0.3026221
#[5,] -0.38242607 0.5473120 0.03114461 -0.4661217 0.5796209
所以我们的结果是正确的！