从城市到另一个城市的最低成本

Question

假设我们在数字行上有n个城市：1,2，...，n。定义一个函数c（i，j），它返回从城市i到城市j的成本，并假设它需要恒定的时间来计算。我们希望通过一组中间城市从1到n旅行，但只能前进。我们可以通过定义以下重现来计算这样做的最低成本：f（j）= min {1≤i

我认为这是旅行商问题的一个简单版本，但我觉得TSP的算法对于这个问题可能太难了......有人可以给出一些建议吗？

Answer 1

我们可以使用'动态编程'（基本上记忆递归）来有效地解决这个问题。

//min_cost[i] denotes min cost to go from city i to city n
set all min_cost[i] to INF

int solve(int i){
    // base case
    if(i==n)
        return 0;

    // if we have already calculated the ans from city i just return it
    if(min_cost[i] != INF)
        return min_cost[i] ;
    else{
        ans = INF;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            ans = min(ans, c(i,j) + solve(j));
        min_cost[i] = ans;
        return ans;
    }
}

时间复杂度 - O（n ^ 2）

这种蛮力的方式就是试试所有可能的城市从当前城市出发。所以它看起来像这样，

int solve(int i){
    if(i==n)
        return 0;
    ans = INF;      
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
        ans = min(ans, c(i,j) + solve(j));
    return ans;
}

其中如果你在城市我试图找到最小路径，通过所有可能的路径，看看哪个是最佳的。

但正如你可以看到，来自一个城市（例如j）的最低成本回答对于之前的所有城市（城市i＆lt; j）都是有用的。因此，我们可以通过记忆解决方案来使用动态编程来优化解决方案。

如果您想在到达城市n后返回城市1，也可以轻松修改代码。

Answer 2

这可以通过创建包含n个顶点（作为城市）的图表，并仅使用允许的方向从城市i向j添加有向边来解决。

当我们创建图表时，我们可以通过运行Dijkstra算法获得最小路径，其中源是节点1，目标是节点n。