包含x％点的最小边界球体

Question

给定3D点云，如何找到包含给定百分点的最小边界球？

即。如果我有一个带有一些噪声的点云，并且我想忽略5％的异常值，如果我不知道哪些点是异常值，我怎么能得到包含95％剩余点的最小球体？

示例：我想找到绿色球体，而不是红色球体：

我正在寻找一种合理快速而简单的算法。它不必找到最优解，合理的近似也很好。

我知道如何计算100％点的近似边界球，例如用Ritter的算法。

如何将此推广到找到包含x％点的最小球体的算法？

Answer 1

只是一个想法：二元搜索。

首先，使用其中一个边界球algorithms来首先找到100％的边界球。

将95％球体的中心点固定为与100％球体的中心点相同。 （不能保证它是，但你说你可以用近似答案。）然后在球体半径上使用二分搜索，直到你得到95% +- epsilon个点。

假设点从中心点按距离（或平方距离稍微快一些）进行排序，对于固定半径r，需要O(log n)次操作才能找到内部点的点数。半径为r的球体，例如通过使用另一个二分搜索。右r本身的二进制搜索需要这种评估的对数。因此，在找到100％球体后，整个搜索应该只需要O（log ² n）步骤。

编辑：如果您认为缩小球体的中心距离整个球体太远，您可以重新计算边界球体，或者仅重新计算点集的质量中心，每次丢掉一些积分之后。每次重新计算不应超过O（n）。重新计算后，按距离新中心点的距离求助点。由于您希望它们已经几乎已经排序，您可以依赖冒泡排序，这对于近乎分类的数据在O（n + epsilon）中起作用。请记住，这些测试只需要一个对数，所以你应该能够完全接近O（n log ² n）。

这取决于您正在寻找的确切表现以及您愿意为此牺牲的内容。 （我很高兴得知我错了，这对我来说是一个非常精确的算法。）

Answer 2

距离平均点位置的距离可能会给出一个合理的指示，表明一个点是否是异常值。

该算法可能类似于：

1. 查找分数的边界
2. 查找平均点位置
3. 选择距离平均位置最远的边界球上的点，将其作为异常值移除
4. 重复步骤1-3，直至删除5％的分数

Answer 3

ryann的算法并不坏。我建议使用几何中位数进行证明，然后来到这个草图：

1. 计算O（N ^ 2）
中的NxN距离
2. 在O（N ^ 2）
中对此矩阵的每一行（=一个点与其他点的距离）求和
3. 对获得的＆＃34;人群进行排序＆＃34;距离O（N * log N）
   （距离最小的点是几何中值的近似值）
4. 去除O（1）中最大的5％ 在这里我们只考虑最大的人群距离作为异常值，
   而不是从中位数获取最大距离。
5. 以O（N）
计算所获得球体的半径

当然，它也会受到次优性的影响，但是在远离异常值的情况下应该会有所改善。总成本为O（N ^ 2）。

Answer 4

我会迭代以下两个步骤直到收敛：

1）给定一组点，找到包围100％点的最小球体并计算出其中心。

2）给定一个中心，找到包含最接近中心的原始数字的95％的点组。

每个步骤减少（或至少不增加）所涉及球体的半径，因此您可以在半径停止减小时声明收敛。

事实上，我会从多个随机开始迭代，每次开始都是通过找到包含所有一小部分点的最小球体而产生的。我注意到，如果你有10个异常值，并且你将你的点集分成11个部分，那么这些部分中至少有一个不会有任何异常值。

（这非常基于https://en.wikipedia.org/wiki/Random_sample_consensus）

Answer 5

找到欧几里得最小生成树，并按长度的降序检查边缘。对于每条边，考虑通过删除边获得的两个连接树中的点集。

如果较小的点集小于总数的5％，并且较大的点集周围的边界球不与其重叠，则删除较小的点集。 （如果你的点云中心有一个空白的空间，这个条件是必要的。）

重复此操作，直至达到阈值或长度足够小＆＃39;你不在乎删除它们。