我有一个图表和一个起始节点。我想找到当我使用DFS删除图中所有节点中的每个节点时有多少节点被隔离。
例如，如果我从固定节点1开始，并删除节点2，我将拥有多少个孤立节点？如果我删除节点3？
我知道我可以为所有节点做DFS（每次删除一个不同的节点），但是这样做我将不得不为每个节点导航一次图形，我想用一次运行来解决它。
我被告知它有O（| V | * || A |），是| V | =边数，| A | =节点数。
我一直在玩prenum和postnums，但没有成功。
答案 0 :(得分：1)
令N为顶点数，M为边数。如果您只是想要一个O（NM）解决方案，那么除了为每个顶点运行DFS之外，您不需要做任何其他事情。
每个DFS的复杂度为O（N + M），因此总复杂度为O（N（N + M））= O（N 2 + NM）。通常我们有比顶点更多的边缘，因此NM的增长速度比N²快得多，我们可以说复杂度是O（NM）。但请记住，如果你在每个步骤中物理删除当前顶点，你的实现将会有更复杂的复杂性，因为物理删除顶点意味着从许多邻接列表中删除条目，无论你如何代表图形。有一个实现技巧可以加快进程：不是在每个DFS之前物理删除当前顶点，只需将顶点标记为已删除，当您在DFS期间浏览邻接列表时，只需忽略标记的顶点。
但是，我觉得你可以使用Tarjan算法找到关节点，在O（N + M）中解决这个问题。该算法将找到每个顶点，当从图中移除时，将图形拆分为多个连接的组件（这些顶点称为清晰点）。如果删除不是关节点的顶点，很容易看出不会有孤立的顶点。但是，如果删除关节点，则将图形分为G和G'两部分，其中G是起始顶点的连通分量，G'是图形的其余部分。来自G'的所有顶点都是孤立的，因为如果从起始顶点运行DFS，则无法到达它们。我认为您可以有效地找到每个顶点删除的G'大小，也许您甚至可以在运行Tarjan时执行此操作。如果我找到了解决方案，我可以稍后编辑这个答案。
编辑：我设法解决了O（N + M）中的问题。我会给你一些提示，以便你自己找到答案：每个无向图可以在（不是不相交的）双连通分量集中分解：每个双连通分量是图的顶点的子集，即使你删除任何顶点，该子集中的每个顶点都将保持连接状态。图表
可以改变找到桥梁和关节点的Tarjan O（N + M）算法，以便找到双连通分量，找出哪些顶点属于每个双连通分量，或哪些双连通分量包含每个顶点
如果删除任何不是关节点的顶点，那么这个顶点的答案显然是N-1
如果删除关节点，则起始顶点的同一双连通分量中的每个顶点仍然是可访问的，但您不知道其他双连通分量。别担心，有一种方法可以有效地找到它
您可以压缩其双连通组件的图B中的每个图G.压缩算法很简单：每个双连通组件都成为B中的顶点，并链接共享某些关节点的双连通组件。我们可以证明结果图B是树。您必须以某种方式使用此树以解决步骤4中提出的问题