Question

情况如下：我有一个符号函数 lamb ，它是变量z的元素和变量h的函数元素的函数。这是羊羔象征功能的图像

现在我想根据变量eta和xi计算此函数的Gradient和Hessian。当然我用谷歌搜索它，但我找不到直接的方法来做到这一点。我发现的是here，但正如我所说，它并不是这种情况的最佳方法。任何的想法？贝娄，源代码。感谢。

git submodule update --remote

Answer 1

你可以简单地计算梯度向量＆＃34;手动＆＃34; （假设变量按(z1, z2, z3, eta)排序）：

[lamb.diff(x) for x in z+[eta]]

同样，对于Hessian矩阵：

[[lamb.diff(x).diff(y) for x in z+[eta]] for y in z+[eta]]

Answer 2

您可以使用Stelios建议的非常Pythonic方式，也可以使用SymPy最近添加的一些功能：

In [14]: from sympy.tensor.array import derive_by_array

In [15]: derive_by_array(lamb, (eta, xi))
Out[15]:
[-(z_1 - h_1(xi, eta))*Derivative(h_1(xi, eta), eta)/sigma**2 - (z_2 - h_2(xi,
 eta))*Derivative(h_2(xi, eta), eta)/sigma**2 - (z_3 - h_3(xi, eta))*Derivativ
e(h_3(xi, eta), eta)/sigma**2, -(z_1 - h_1(xi, eta))*Derivative(h_1(xi, eta), 
xi)/sigma**2 - (z_2 - h_2(xi, eta))*Derivative(h_2(xi, eta), xi)/sigma**2 - (z
_3 - h_3(xi, eta))*Derivative(h_3(xi, eta), xi)/sigma**2]

不幸的是，N-dim阵列仍然缺少打印机，您可以通过将它们转换为列表（或者使用 .tomatrix（））进行可视化：

In [16]: list(derive_by_array(lamb, (eta, xi)))
Out[16]: 
⎡                  ∂                              ∂                           
⎢  (z₁ - h₁(ξ, η))⋅──(h₁(ξ, η))   (z₂ - h₂(ξ, η))⋅──(h₂(ξ, η))   (z₃ - h₃(ξ, η
⎢                  ∂η                             ∂η                          
⎢- ──────────────────────────── - ──────────────────────────── - ─────────────
⎢                2                              2                             
⎣               σ                              σ                              

   ∂                               ∂                              ∂           
))⋅──(h₃(ξ, η))    (z₁ - h₁(ξ, η))⋅──(h₁(ξ, η))   (z₂ - h₂(ξ, η))⋅──(h₂(ξ, η))
   ∂η                              ∂ξ                             ∂ξ          
───────────────, - ──────────────────────────── - ────────────────────────────
 2                               2                              2             
σ                               σ                              σ              

                   ∂           ⎤
   (z₃ - h₃(ξ, η))⋅──(h₃(ξ, η))⎥
                   ∂ξ          ⎥
 - ────────────────────────────⎥
                 2             ⎥
                σ              ⎦

对于Hessian，只需重复两次程序：

In [18]: list(derive_by_array(derive_by_array(lamb, (eta, xi)), (eta, xi)))
Out[18]: 
⎡                    2                               2                        
⎢                   ∂                               ∂                         
⎢  (z₁ - h₁(ξ, η))⋅───(h₁(ξ, η))   (z₂ - h₂(ξ, η))⋅───(h₂(ξ, η))   (z₃ - h₃(ξ,
⎢                    2                               2                        
⎢                  ∂η                              ∂η                         
⎢- ───────────────────────────── - ───────────────────────────── - ───────────
⎢                 2                               2                           
⎣                σ                               σ                            

       2                                                                      
      ∂                            2                 2                 2      
 η))⋅───(h₃(ξ, η))   ⎛∂           ⎞    ⎛∂           ⎞    ⎛∂           ⎞       
       2             ⎜──(h₁(ξ, η))⎟    ⎜──(h₂(ξ, η))⎟    ⎜──(h₃(ξ, η))⎟     (z
     ∂η              ⎝∂η          ⎠    ⎝∂η          ⎠    ⎝∂η          ⎠       
────────────────── + ─────────────── + ─────────────── + ───────────────, - ──
    2                        2                 2                 2            
   σ                        σ                 σ                 σ             


                 2                                 2                          
                ∂                                 ∂                           
₁ - h₁(ξ, η))⋅─────(h₁(ξ, η))   (z₂ - h₂(ξ, η))⋅─────(h₂(ξ, η))   (z₃ - h₃(ξ, 
              ∂ξ ∂η                             ∂ξ ∂η                         
───────────────────────────── - ─────────────────────────────── - ────────────
              2                                 2                             
             σ                                 σ                              


       2                                                                      
      ∂               ∂            ∂              ∂            ∂              
η))⋅─────(h₃(ξ, η))   ──(h₁(ξ, η))⋅──(h₁(ξ, η))   ──(h₂(ξ, η))⋅──(h₂(ξ, η))   
    ∂ξ ∂η             ∂η           ∂ξ             ∂η           ∂ξ             
─────────────────── + ───────────────────────── + ───────────────────────── + 
    2                              2                           2              
   σ                              σ                           σ               


                                                2                             
∂            ∂                                 ∂                              
──(h₃(ξ, η))⋅──(h₃(ξ, η))    (z₁ - h₁(ξ, η))⋅─────(h₁(ξ, η))   (z₂ - h₂(ξ, η))
∂η           ∂ξ                              ∂ξ ∂η                            
─────────────────────────, - ─────────────────────────────── - ───────────────
             2                               2                                
            σ                               σ                                 


    2                                 2                                       
   ∂                                 ∂               ∂            ∂           
⋅─────(h₂(ξ, η))   (z₃ - h₃(ξ, η))⋅─────(h₃(ξ, η))   ──(h₁(ξ, η))⋅──(h₁(ξ, η))
 ∂ξ ∂η                             ∂ξ ∂η             ∂η           ∂ξ          
──────────────── - ─────────────────────────────── + ─────────────────────────
 2                                 2                              2           
σ                                 σ                              σ            


                                                                             ∂
   ∂            ∂              ∂            ∂               (z₁ - h₁(ξ, η))⋅──
   ──(h₂(ξ, η))⋅──(h₂(ξ, η))   ──(h₃(ξ, η))⋅──(h₃(ξ, η))                      
   ∂η           ∂ξ             ∂η           ∂ξ                              ∂ξ
 + ───────────────────────── + ─────────────────────────, - ──────────────────
                2                           2                              2  
               σ                           σ                              σ   

2                               2                               2             
                               ∂                               ∂              
─(h₁(ξ, η))   (z₂ - h₂(ξ, η))⋅───(h₂(ξ, η))   (z₃ - h₃(ξ, η))⋅───(h₃(ξ, η))   
2                               2                               2             
                              ∂ξ                              ∂ξ              
─────────── - ───────────────────────────── - ───────────────────────────── + 
                             2                               2                
                            σ                               σ                 

                                                   ⎤
              2                 2                 2⎥
⎛∂           ⎞    ⎛∂           ⎞    ⎛∂           ⎞ ⎥
⎜──(h₁(ξ, η))⎟    ⎜──(h₂(ξ, η))⎟    ⎜──(h₃(ξ, η))⎟ ⎥
⎝∂ξ          ⎠    ⎝∂ξ          ⎠    ⎝∂ξ          ⎠ ⎥
─────────────── + ─────────────── + ───────────────⎥
        2                 2                 2      ⎥
       σ                 σ                 σ       ⎦

Answer 3

有一个答案https://developers.google.com/docs/api/quickstart/nodejs，它使用hessian和单线jacobian函数。

如何获得Gradient和Hessian | Sympy

3 个答案: