Question

我需要以下对角线：

diag(X %*% solve(A) %*% t(X))

其中A是满秩矩阵，X是矩形矩阵。 A和X都很稀疏。

我知道发现矩阵的逆是坏的，除非你真的需要它。但是，我无法看到如何重写公式，使solve(A)被solve替换为两个参数，这样线性系统就可以在没有显式反转的情况下得到解决。这可能吗？

Answer 1

也许在我真正开始之前，我需要提一下，如果你这样做

diag(X %*% solve(A, t(X)))

避免了矩阵逆。 solve(A, B)执行LU分解并使用生成的三角矩阵因子来求解线性系统A x = B。如果您未指定B，则默认为对角矩阵，因此您将明确计算A的矩阵逆。

您应该仔细阅读?solve，可能需要多次提示。它表示它基于LAPACK例程DGESV，您可以在其中找到场景背后的数字线性代数。

DGESV computes the solution to a real system of linear equations

   A * X = B,

where A is an N-by-N matrix and X and B are N-by-N RHS matrices.

The LU decomposition with partial pivoting and row interchanges is
used to factor A as

  A = P * L * U,

where P is a permutation matrix, L is unit lower triangular, and U is
upper triangular.  The factored form of A is then used to solve the
system of equations A * X = B.

solve(A, t(X))和solve(A) %*% t(X)之间的差异是效率问题。后者中的一般矩阵乘法%*%比solve本身贵得多。

然而，即使你使用solve(A, t(X))，你也不是最快的，因为你有另一个%*%。

另外，由于您只需要对角元素，因此在首次获得完整矩阵时会浪费大量时间。 我的回答将让您走上最快的轨道。

我已经重写了LaTeX中的所有内容，内容也大大扩展，包括对R实现的引用。如果您发现QR分解，奇异值分解和Pivoted Cholesky分解，最后会给出额外的资源。

额外资源

如果您对旋转Cholesky分解感兴趣，可以参考Compute projection / hat matrix via QR factorization, SVD (and Cholesky factorization?)。在那里我还讨论了QR分解和奇异值分解。

以上链接在普通最小二乘回归上下文中设置。对于加权最小二乘，您可以参考Get hat matrix from QR decomposition for weighted least square regression。

QR分解也采用紧凑的形式。如果您想了解有关如何完成和存储QR分解的更多信息，请参阅What is "qraux" returned by QR decomposition。

这些问题和答案都集中在数值矩阵计算上。以下给出了一些统计应用：

如何有效地计算诊断（X％％求解（A）％％t（X））而不采用矩阵逆？

1 个答案:

如何有效地计算诊断（X％*％求解（A）％*％t（X））而不采用矩阵逆？

1 个答案:

如何有效地计算诊断（X％％求解（A）％％t（X））而不采用矩阵逆？