Question

从stackoverflow内外的几个帖子中，我已经知道如何检测链表中的循环，循环的长度。我还找到了如何检测循环开始的方法。

以下是再次参考的步骤。

检测循环：

有两个指针，通常称为野兔和乌龟。将野兔移动2步并将龟移动1.如果它们在某个时刻相遇，那么肯定会有一个循环，并且会合点显然在循环内。

寻找循环的长度：

将一个指针固定在会合点上，同时增加另一个指针直到它们再次相同。随着时间的推移增加一个计数器，满足时的计数器值将是周期的长度。

查找周期的开始

用一个指针开始列表，另一个指向会合点。现在将两者递增，并且满足点是循环的开始。我在纸上使用了一些案例验证了这种方法，但我不明白为什么它应该起作用。

有人可以提供数学证明，说明为什么这种方法有效吗？

Answer 1

如果您通过指向其第一个节点（列表）

的指针来表示列表

enter image description here

检测循环的算法描述如下：

声明两个指针（ pFast ）和（ pSlow ）。
将 pSlow 和 pFast 指向列表。
直到（ pSlow ），（ pFast ）或两者都指向NULL：
3. 如果，则刚刚找到STOP作为循环。
如果达到了这一点（一个或两个指针都是NULL），那么列表中就没有循环。

让我们假设这个算法是正确的。在此方案中，循环情况由下图表示：

enter image description here

注意除了指向循环开始的节点之外，每个节点都标有其目标数减1的节点。因此，如果一个节点标有 i 并且它不是循环的开头，那么它被标记为 i-1 的节点指向下一个元素。 / p>

上面解释的算法可以被描述为循环，因为其主要步骤（3）是一组子步骤，其重复直到满足退出条件。这迫使我们在算法执行中的迭代次数（ t ）中表示 pFast 和 pSlow 。

enter image description here

如果列表没有循环，则指针位置将在t的函数中描述为：

enter image description here

然而，有一个循环开始的节点，该函数停止描述指针的演变。假设此指针标有 m ，则该循环包含节点（即 enter image description here 和），并将 t = 0 设置为时的迭代值：

enter image description here

如果一个指针确实足以使用所描述的算法检测循环，那么它必须至少存在方程 enter image description here 的解决方案。

当且仅当 t 的值有：

enter image description here

这以函数 enter image description here 结束，该函数生成t的值，这些值是上述等式的有效解决方案：

enter image description here

因此证明了一个慢指针和一个快速指针足以检测链表中的循环条件。

Answer 2

如果您不使用会面点，您可以使“查找周期开始”证明更简单让第二个指针不在“会合点”开始，但是M在第一个指针之前步进。（其中M是循环的长度。）

这样，证据非常明显。当第一个指针到达循环的开始时，第二个指针将正好前进M：也就是在循环开始时。

Answer 3

slowPointer在meet = x + y

之前行进的距离

fastPointer在会面前行进的距离=（x + y + z）+ y = x + 2y + z

由于fastPointer的行进速度是slowPointer的两倍，因此当达到会合点时，两者的时间都是恒定的。

因此，通过使用简单的速度，时间和距离关系2（x + y）= x + 2y + z =＆gt; x + 2y + z = 2x + 2y =＆gt; X = Z

因此，通过将slowPointer移动到链接列表的开始，并使slowPointer和fastPointer一次移动一个节点，它们都具有相同的距离。

它们将在链接列表中的循环开始处到达。

Answer 4

我不认为这是真的，当他们遇到那是起点。但是，如果另一个指针（F）在之前的会合点，那么该指针将位于循环的结尾而不是循环的开始，并且从列表的开头开始的指针（S）将是在循环开始时结束。例如：

enter image description here

开始F作为Fast ans S比他们在9点结束时慢。现在当我再次开始S时，它将在循环开始时到达，即7但f将在16 ..

如果我错了，请告诉我

Answer 5

第二部分，声明“找到循环的开始，只需将一个指针移回列表的开头然后迭代它们直到它们相遇”是错误的！

只有当快速指针绕循环完全一次时才是正确的 - 即循环开始之前的部分比循环的长度短 - 但是如果它更长然后算法不起作用;你可能陷入无限循环。

尝试使用包含11个元素的链表，其中第11个指向第7个：

1 1 - ＆gt; 3 2 - ＆gt; 5 3 - ＆gt; 7 4 - ＆gt; 9 5 - ＆gt; 11 6 - ＆gt; 8 7 - ＆gt; 10 8 - ＆gt; 7 9 - ＆gt; 9 9

- 检测到循环

向后移动一个以开始并递增它们： 1 9 - ＆gt; 2 10 - ＆gt; 3 11 - ＆gt; 4 7 - ＆gt; 5 8 - ＆gt; 6 9 - ＆gt; 7 10 - ＆gt; 8 11 - ＆gt; 9 7 - ＆gt; 10 8 - ＆gt; 11 9 - ＆gt; 7 10 - ＆gt; 8 11 - ＆gt; ...

Answer 6

/* Algorithm : P2 is moving through the list twice as fast as P1.
   If the list is circular, it will eventually get around P1 and meet */

public boolean hasCycle()
{
  DoubleNode p1,p2;
  p1=p2=firstNode;    //Start with the first loop

  try
  {
    while (p2 != null)     //If p2 reaches end of linked list, no cycle exists
    {
        p1=p1.next;   //Move to next
        p2=p2.next.next; //Move to 2 steps next
        if(p1==p2)
           return true;     //p1 and p2 met, so this means that there is a cycle
    }
  }
  catch(NullPointerException npe)
  {
      //This means that p2 could not move forward
      return false;
  }

  return false;
}

检测链表中循环开始的证明

6 个答案: