Question

N 不同的数字不是按排序顺序给出的。选择一个数字的时间需要多长时间既不是第k个最小值也不是第k个最大值？

我试过这样=＆gt;

取最初的k + 1个数字并在O（k log k）中对它们进行排序。然后在该排序列表中选取第k个数字，既不是第k个最小值也不是第k个最大值。

因此，时间复杂度= O（K log k）

示例=＆gt;

选择既不是第二最小值也不是第二最大值的数字。

array [] = {3,9,1,2,6,5,7,8,4}

取最初的3个数字或子数组= 3,9,1，排序的子数组将是= 1,3,9

现在拿起第二个元素3.现在，3不是第二个最小值，也不是第二个最大值。

现在，时间复杂度= O（k lg k）= O（2 lg 2）= O（1）。

Answer 1

如果N <1，问题是微不足道的。 ķ。否则，阵列中没有第k个最大或最小的元素 - 因此可以在O（1）时间内选择任何元素（例如第一个）。

如果N足够大，您可以采用大小为2k + 1的任何子集并选择中位数。然后你发现一个数字保证不是整个数组中第k个最大或最小的数字。事实上，你获得了更强大的东西 - 它保证它不会在排序数组中的前k个或最后k个数字中。

在O（M）时间内找到M个事物的中位数，因此该算法在O（k）时间内运行。

我认为这对于大N来说是渐近最优的 - 任何考虑少于k项的算法都不能保证它选择的数字不是整个数组中的第k个最小值或最大值。

如果N不足够大（特别是N <2k + 1），则可以在O（N）时间内找到最小值（或第二个最小值，如果k = 1）。由于k <= N＆lt; 2k + 1，这也是O（k）。

有三种情况不存在解：（k = 1，N = 1），（k = 1，N = 2），（k = 2，N = 2）。

如果仅考虑k <= N的情况，则整个算法的复杂度为O（k）。如果你想要包括那些琐碎的案例那么它有些混乱。如果I（k <= N）是k <= N时的函数1，否则为0，则更严格的界限是O（1 + k * I（k <= N））。

Answer 2

我认为在您的解决方案中必须注意许多要点：

首先，在解决方案中需要使用2k + 1个元素而不是k + 1。更具体地说，你采取：

array[] = {3,9,1,2,6,5,7,8,4}

Take initial 3 numbers or subarray = 3,9,1 and sorted subarray will be = 1,3,9

Now pick up 2nd element 3. Now, 3 is not the 2nd minimum nor 2nd maximum .

但要检查3 is not the 2nd minimum nor 2nd您是否可以使用k + 1元素执行此操作：subarray = 3,9,1您必须检查数组以查看最大2和最小值是多少并检查您的溶液

另一方面，通过获取2k + 1个元素并对它们进行排序，因为你的元素是不同的，你会知道k + 1元素比k个第一个元素更大，而更小的元素来自你排序的子数组的k个最后元素。

在您的示例中，您可以看到：

array [] = {3,9,1,2,6,5,7,8,4} subarray [] = {3,9,1,2,6}然后对子阵列进行排序：{1,2,3,6,9}，并给出答案数字3。

您的解决方案不适合的示例： array [] = {9,8,2,6,5,3,7,1,4}你的算法将返回数字2，即第二分钟。

至于复杂性。通过2k + 1个元素，它不会改变你找到的复杂性，因为它将是O（（2k + 1）log（2k + 1）），即O（klog（k））。

显然，如果n＆lt; 2k + 1上述算法不能正常工作，那么你必须对整个数组进行排序，这将采用nlog n，但在这种情况下n＆lt; 2k + 1所以它O（klogk）

最后基于上面的算法将是O（klog k）。可能令人困惑的一个问题是问题有两个参数k，n。如果K比n小得多，这是一个有效的算法，因为你没有＆＃ 39; t需要查看和缩短n-size数组但是当k，n非常接近时，它与排序n-size数组相同。

你应该理解的另一件事是，当输入n被赋予算法时，大O符号是测量时间复杂度的方式，并且显示了大输入n的算法的渐近行为。 O（1）表示算法在恒定时间内运行 ALWAYS 。所以当你引用时最终：

Now, time complexity = O(k lg k) = O(2 lg 2) = O(1).

这不是正确的，您必须测量复杂度，其中k是输入变量而不是常量，这显示了算法对随机输入k的行为。显然，上述算法不需要O（1）（或其他恒定时间）它需要O（k log（k））。

最后，在寻找更好的方法之后，如果你想要一种更有效的方法，你可以在O（n）中找到kth min和kth max（n是数组的大小）。并且有一个循环进入O（n）你可以简单地选择第一个与第k个最小值和最大值不同的元素。我认为O（n）是你可以得到的最低时间复杂度，因为找到kth min和max取最小O（n）。

关于如何找到kth min，在O（n）中的最大值，你可以在这里看到： How to find the kth largest element in an unsorted array of length n in O(n)?

这个解是O（n）而前面的解是O（klog k）。现在k参数接近n，如上所述，它与O（n log（n））相同，所以在这个场合O（n）解决方案更好。但是如果大多数时间k远小于n那么那么O（k log k）可能会更好.O（n）解决方案（第二种解决方案）的好处在于所有在不考虑k的情况下，它需要O（n），因此它更稳定，但如小k所述，第一种解决方案可能更好（但在最坏的情况下，它可以达到O（nlogn））。

Answer 3

您可以使用radix-sort在伪线性时间内对整个列表进行排序，并在恒定时间内选择第k个最大元素。

总的来说，假设基数的大小远小于n或者你使用Selection algorithm，它将是最坏情况的O（n）算法。

O（n）是这里的绝对下界。没有办法比线性更好，因为如果列表没有排序，你至少需要检查一切，否则你可能会错过你正在寻找的元素。

找出既不是第k个最大值也不是第k个最小值的元素的时间复杂度？

3 个答案: